WikiDer > Теорема Абельса о неприводимости - Википедия

Abels irreducibility theorem - Wikipedia

В математике Теорема Абеля о неприводимости, а теория поля результат описан в 1829 г. Нильс Хенрик Абель,[1] утверждает, что если ƒ(Икс) это многочлен через поле F который разделяет корень с многочленом грамм(Икс) то есть несводимый надF, то каждый корень грамм(Икс) является корнем ƒ(Икс). Эквивалентно, если ƒ(Икс) разделяет по крайней мере один корень с грамм(Икс) тогда ƒ делится без остатка на грамм(Икс), означающий, что ƒ(Икс) можно разложить на множители как грамм(Икс)час(Икс) с час(Икс), также имеющий коэффициенты вF.[2][3]

Следствия теоремы включают:[2]

  • Если ƒ(Икс) неприводимо, не существует многочлена младшей степени (кроме нулевой многочлен), который имеет с ним общий корень. Например, Икс2 - 2 неприводимо над рациональное число и имеет как корень; следовательно, не существует линейного или постоянного полинома над рациональными числами, имеющими как корень. Кроме того, не существует многочлена одинаковой степени, у которого общие корни с ƒ(Икс), кроме постоянных кратных ƒ(Икс).
  • Если ƒ(Икс) ≠ грамм(Икс) - два разных неприводимых монические полиномы, то у них нет общих корней.

Рекомендации

  1. ^ Абель, Н. Х. (1829), "Mémoire sur une classe speculière d'équations resolubles algébriquement" [Замечание об особом классе алгебраически разрешимых уравнений], Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1829 (4): 131–156, Дои:10.1515 / crll.1829.4.131.
  2. ^ а б Дёрри, Генрих (1965), 100 великих проблем элементарной математики: их история и решение, Courier Dover Publications, стр. 120, ISBN 9780486613482.
  3. ^ Эта теорема для минимальные многочлены а не неприводимых многочленов в более общем смысле, это лемма 4.1.3 Кокс (2012). Неприводимые многочлены, разделенные на их старший коэффициент, минимальны для своих корней (предложение Кокса 4.1.5), а все минимальные многочлены неприводимы, поэтому формулировка Кокса эквивалентна формулировке Абеля. Кокс, Дэвид А. (2012), Теория Галуа, Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, Дои:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.

внешняя ссылка