В математике Формула Абеля – Планы это суммирование формула, открытая независимо Нильс Хенрик Абель (1823 ) и Джованни Антонио Амедео Плана (1820 ). В нем говорится, что
∑ п = 0 ∞ ж ( п ) = ∫ 0 ∞ ж ( Икс ) d Икс + 1 2 ж ( 0 ) + я ∫ 0 ∞ ж ( я т ) − ж ( − я т ) е 2 π т − 1 d т . { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) = int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx + { frac {1} {2}} f (0) + i int _ {0} ^ { infty} { frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 pi t} -1}} , dt.} Это верно для функций ж которые голоморфный в области Re (z ) ≥ 0 и удовлетворяют подходящему условию роста в этой области; например, достаточно предположить, что |ж | ограничен C /|z |1 + ε в этой области для некоторых констант C , ε> 0, хотя формула верна и при гораздо более слабых оценках. (Олвер 1997 , стр.290).
Примером может служить Дзета-функция Гурвица ,
ζ ( s , α ) = ∑ п = 0 ∞ 1 ( п + α ) s = α 1 − s s − 1 + 1 2 α s + 2 ∫ 0 ∞ грех ( s арктан т α ) ( α 2 + т 2 ) s 2 d т е 2 π т − 1 , { displaystyle zeta (s, alpha) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + alpha) ^ {s}}} = { frac { alpha ^ {1-s}} {s-1}} + { frac {1} {2 alpha ^ {s}}} + 2 int _ {0} ^ { infty} { frac { sin left (s arctan { frac {t} { alpha}} right)} {( alpha ^ {2} + t ^ {2}) ^ { frac {s} {2}}}} { frac {dt} {e ^ {2 pi t} -1}},} что справедливо для всех s ∈ ℂ s ≠ 1
Абель также дал следующую вариацию для переменных сумм:
∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ж ( п ) = 1 2 ж ( 0 ) + я ∫ 0 ∞ ж ( я т ) − ж ( − я т ) 2 грех ( π т ) d т . { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} f (n) = { frac {1} {2}} f (0) + i int _ {0 } ^ { infty} { frac {f (it) -f (-it)} {2 sinh ( pi t)}} , dt.} Доказательство
Позволять ж { displaystyle f} ℜ ( z ) ≥ 0 { Displaystyle Re (Z) GEQ 0} ж ( 0 ) = 0 { displaystyle f (0) = 0} ж ( z ) = О ( | z | k ) { Displaystyle е (г) = О (| г | ^ {к})} аргумент ( z ) ∈ ( − β , β ) { displaystyle { text {arg}} (z) in (- beta, beta)} ж ( z ) = О ( | z | − 1 − δ ) { Displaystyle е (г) = О (| г | ^ {- 1- дельта})} а = е я β / 2 { Displaystyle а = е ^ {я бета / 2}} теорема о вычетах
∫ а − 1 ∞ 0 + ∫ 0 а ∞ ж ( z ) е − 2 я π z − 1 d z = − 2 я π ∑ п = 0 ∞ р е s ( ж ( z ) е − 2 я π z − 1 ) = ∑ п = 0 ∞ ж ( п ) . { displaystyle int _ {a ^ {- 1} infty} ^ {0} + int _ {0} ^ {a infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz = -2i pi sum _ {n = 0} ^ { infty} Res left ({ frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1 }} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n).} потом
∫ а − 1 ∞ 0 ж ( z ) е − 2 я π z − 1 d z = − ∫ 0 а − 1 ∞ ж ( z ) е − 2 я π z − 1 d z = ∫ 0 а − 1 ∞ ж ( z ) е 2 я π z − 1 d z + ∫ 0 а − 1 ∞ ж ( z ) d z = = ∫ 0 ∞ ж ( а − 1 т ) е 2 я π а − 1 т − 1 d ( а − 1 т ) + ∫ 0 ∞ ж ( т ) d т . { displaystyle { begin {align} int _ {a ^ {- 1} infty} ^ {0} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz & = - int _ {0} ^ {a ^ {- 1} infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz = int _ {0} ^ {a ^ {- 1} infty} { frac {f (z)} {e ^ {2i pi z} -1}} dz + int _ {0} ^ {a ^ {- 1} infty } f (z) dz = & = int _ {0} ^ { infty} { frac {f (a ^ {- 1} t)} {e ^ {2i pi a ^ {- 1} t} -1}} d (a ^ {- 1} t) + int _ {0} ^ { infty} f (t) dt. end {выравнивается}}}
С использованием Интегральная теорема Коши для последнего. ∫ 0 а ∞ ж ( z ) е − 2 я π z − 1 d z = ∫ 0 ∞ ж ( а т ) е − 2 я π а т − 1 d ( а т ) { displaystyle int _ {0} ^ {a infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz = int _ {0} ^ { infty } { frac {f (at)} {e ^ {- 2i pi at} -1}} d (at)}
∑ п = 0 ∞ ж ( п ) = ∫ 0 ∞ ( ж ( т ) + а ж ( а т ) е − 2 я π а т − 1 + а − 1 ж ( а − 1 т ) е 2 я π а − 1 т − 1 ) d т . { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) = int _ {0} ^ { infty} left (f (t) + { frac {a , f (at )} {e ^ {- 2i pi at} -1}} + { frac {a ^ {- 1} f (a ^ {- 1} t)} {e ^ {2i pi a ^ {- 1 } t} -1}} right) dt.} Это тождество остается верным при аналитическом продолжении всюду, где сходится интеграл, позволяя а → я { Displaystyle от до я}
∑ п = 0 ∞ ж ( п ) = ∫ 0 ∞ ( ж ( т ) + я ж ( я т ) − я ж ( − я т ) е 2 π т − 1 ) d т { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) = int _ {0} ^ { infty} left (f (t) + { frac {i , f (it ) -i , f (-it)} {e ^ {2 pi t} -1}} right) dt} Дело f (0) ≠ 0 получается аналогично, заменяя ∫ а − 1 ∞ а ∞ ж ( z ) е − 2 я π z − 1 d z { displaystyle int _ {a ^ {- 1} infty} ^ {a infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz} 0 .
Смотрите также
использованная литература
Абель, Н.Х. (1823 г.), Решение проблем, связанных с определенным содержанием Butzer, P.L .; Ferreira, P. J. S. G .; Schmeisser, G .; Стенс, Р. Л. (2011), «Формулы суммирования Эйлера – Маклорена, Абеля – Планы, Пуассона и их взаимосвязь с приближенной формулой дискретизации анализа сигналов», Результаты по математике 59 (3): 359–400, Дои :10.1007 / s00025-010-0083-8 , ISSN 1422-6383 , Г-Н 2793463 Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1997) [1974], Асимптотика и специальные функции , AKP Classics, Веллесли, Массачусетс: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0 Г-Н 1429619 Плана, Г.А.А. (1820), «Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la somitation des suites», Mem. Accad. Sci. Турин , 25 : 403–418 внешние ссылки
