WikiDer > Уравнение Абеля первого рода

В математика, Уравнение Абеля первого рода, названный в честь Нильс Хенрик Абель, любой обыкновенное дифференциальное уравнение это кубический в неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${ displaystyle y '= f_ {3} (x) y ^ {3} + f_ {2} (x) y ^ {2} + f_ {1} (x) y + f_ {0} (x) , }$

где ${ Displaystyle f_ {3} (х) neq 0}$. Если ${ displaystyle f_ {3} (x) = 0}$ и ${ displaystyle f_ {0} (х) = 0}$, или ${ displaystyle f_ {2} (х) = 0}$ и ${ displaystyle f_ {0} (х) = 0}$, уравнение сводится к Уравнение Бернулли, а если ${ displaystyle f_ {3} (x) = 0}$ уравнение сводится к Уравнение Риккати.

Свойства

Замена ${ displaystyle y = { dfrac {1} {u}}}$ приводит уравнение Абеля первого рода к "Уравнение Абеля второго рода"формы

${ displaystyle uu '= - f_ {0} (x) u ^ {3} -f_ {1} (x) u ^ {2} -f_ {2} (x) u-f_ {3} (x). ,}$

Замена

${ displaystyle { begin {align} xi & = int f_ {3} (x) E ^ {2} ~ dx, [6pt] u & = left (y + { dfrac {f_ {2} ( x)} {3f_ {3} (x)}} right) E ^ {- 1}, [6pt] E & = exp left ( int left (f_ {1} (x) - { гидроразрыв {f_ {2} ^ {2} (x)} {3f_ {3} (x)}} right) ~ dx right) end {align}}}$

приводит уравнение Абеля первого рода к каноническому виду

${ Displaystyle и '= и ^ {3} + фи ( хи). ,}$

Димитриос Э. Панайотоунакос и Теодорос И. Зармпутис открыл аналитический метод решения вышеуказанного уравнения в целом.^[1]

Заметки

использованная литература

• О решении невынужденного демпфированного осциллятора затяжки без члена линейной жесткости^{[постоянная мертвая ссылка]}
• Построение точных параметрических или замкнутых решений некоторых неразрешимых классов нелинейных ОДУ (нелинейных ОДУ Абеля первого рода и относительных вырожденных уравнений)
• Манкас, Стефан К., Рошу, Харет К., Интегрируемые диссипативные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка через факторизации и уравнения Абеля. Письма по физике A 377 (2013) 1434–1438. [arXiv.org:1212.3636v3]