WikiDer > Метод разложения Адомиана

Adomian decomposition method

В Метод разложения Адомиана (ADM) полуаналитический метод решения обычный и частичный нелинейный дифференциальные уравнения. Метод был разработан с 1970-х по 1990-е гг. Георгий Адомян, председатель Центра прикладной математики Университет Джорджии.[1] Его можно расширить до стохастические системы используя Ито интеграл.[2] Целью этого метода является построение единой теории решения уравнения в частных производных (PDE); цель, которая была заменена более общей теорией метод гомотопического анализа.[3] Важнейшим аспектом метода является использование «многочленов Адомиана», которые допускают сходимость решения нелинейной части уравнения без простой линеаризации системы. Эти многочлены математически обобщить до Серия Маклорена о произвольном внешнем параметре; что дает методу решения больше гибкости, чем прямой Серия Тейлор расширение.[4]

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Метод Адомиана хорошо подходит для решения Задачи Коши, важный класс проблем, который включает первоначальные условия проблемы.

Приложение к нелинейной системе первого порядка

Пример задачи начальных условий для обыкновенного дифференциального уравнения следующий:

Для решения проблемы используется дифференциальный оператор высшей степени (здесь записывается как L) ставится с левой стороны следующим образом:

с L = d / dт и . Теперь предполагается, что решение представляет собой бесконечную серию вкладов:

Заменив предыдущее выражение, получим:

Теперь мы идентифицируем у0 с некоторым явным выражением справа, и уя, я = 1, 2, 3, ..., с некоторым выражением справа, содержащим члены более низкого порядка, чем я. Например:

Таким образом, можно явно рассчитать любой вклад в любом порядке. Если мы согласимся с четырьмя первыми членами, аппроксимация будет следующей:

Приложение к уравнению Блазиуса

Второй пример с более сложными граничными условиями - это Уравнение Блазиуса для потока в пограничный слой:

При следующих условиях на границах:

Линейные и нелинейные операторы теперь называются и , соответственно. Тогда выражение становится:

и решение в этом случае может быть выражено следующим простым образом:

куда: Если:

и:

Полиномы Адомиана для линеаризации нелинейного члена можно систематически получить, используя следующее правило:

куда:

Граничные условия должны применяться, как правило, в конце каждого приближения. В этом случае константы интегрирования должны быть сгруппированы в три конечные независимые константы. Однако в нашем примере три константы появляются сгруппированными с самого начала в форме, показанной в формальном решении выше. После применения первых двух граничных условий мы получим так называемый ряд Блазиуса:

Чтобы получить γ, мы должны применить граничные условия на ∞, что можно сделать, записав ряд как аппроксимацию Паде:

куда L = M. Предел на этого выражения аL/бM.

Если мы выберем б0 = 1, M линейные уравнения для б коэффициенты получаются:

Тогда получаем а коэффициенты в следующей последовательности:

В нашем примере:

Что при γ = 0,0408 становится:

с лимитом:

Что примерно равно 1 (из граничного условия (3)) с точностью 4/1000.

Уравнения с частными производными

Приложение к прямоугольной системе с нелинейностью

Одна из наиболее частых проблем в физических науках - это получение решения (линейного или нелинейного) уравнения в частных производных, которое удовлетворяет набору функциональных значений на прямоугольной границе. Примером может служить следующая проблема:

со следующими граничными условиями, определенными на прямоугольнике:

Этот вид дифференциальных уравнений в частных производных часто появляется вместе с другими в наука и инженерное дело. Например, в несжимаемая жидкость проблема потока, Уравнения Навье – Стокса должны решаться параллельно с Уравнение Пуассона для давления.

Разложение системы

Будем использовать следующие обозначения для задачи (1):

куда LИкс, Lу являются двойными производными операторами и N - нелинейный оператор.

Формальное решение (2):

Теперь развернем u как набор вкладов в решение, которое мы имеем:

Подставив в (3) и установив взаимно однозначное соответствие между вкладами в левой части и членами в правой части, мы получаем следующую итерационную схему:

где пара {ап(у), бп(у)} является решением следующей системы уравнений:

Вот это паппроксимант-го порядка решения и N u последовательно расширяется в многочлены Адомиана:

куда и ж(ты) = ты2 в примере (1).

Здесь C(ν, п) являются произведениями (или суммой произведений) ν компонентов ты чьи индексы в сумме составляют п, деленное на факториал числа повторяющихся индексов. Систематически упорядочивать разложение - это всего лишь практическое правило, чтобы быть уверенным, что все появляющиеся комбинации рано или поздно будут использованы.

В равна сумме обобщенного ряда Тейлора о ты0.[1]

Для примера (1) многочлены Адомиана:

Возможны и другие варианты выражения Ап.

Серийные решения

Шерруо установил, что члены ряда, полученные методом Адомиана, стремятся к нулю как 1 / (мин)! если м - порядок старшего линейного дифференциального оператора и что .[5] С помощью этого метода решение может быть найдено путем систематического интегрирования по любому из двух направлений: в Икс-направление мы бы использовали выражение (3); в альтернативе у-direction мы бы использовали следующее выражение:

куда: c(Икс), d(Икс) получается из граничных условий при у = - ул и у = ул:

Если мы назовем два соответствующих решения x-частное решение и y-частичное решение, одним из самых интересных следствий метода является то, что x-частное решение использует только два граничных условия (1-a) и y-частичное решение использует только условия (1-b).

Таким образом, один из двух наборов граничных функций {ж1, ж2} или же {грамм1, грамм2} избыточно, и это означает, что уравнение в частных производных с граничными условиями на прямоугольнике не может иметь произвольных граничных условий на границах, поскольку условия на Икс = Икс1, Икс = Икс2 должны соответствовать требованиям у = у1 и у = у2.

Примером для пояснения этого момента является решение задачи Пуассона со следующими граничными условиями:

Используя метод Адомиана и символьный процессор (например, Mathematica или же Клен) нетрудно получить приближение третьего порядка к решению. Этот аппроксимант имеет погрешность менее 5 × 10−16 в любой точке, что может быть доказано подстановкой в ​​исходной задаче и отображением абсолютного значения полученной невязки как функции от (Икс, у).[6]

Решение на у = -0,25 и у = 0,25 задается специальными функциями, которые в данном случае:

и грамм2(Икс) = грамм1(Икс) соответственно.

Если теперь выполнить (двойное) интегрирование в у-направлении с использованием этих двух граничных функций будет получено то же решение, которое удовлетворяет ты(Икс=0, у) = 0 и ты(Икс=0.5, у) = 0 и не может удовлетворять никакому другому условию на этих границах.

Некоторые люди удивлены этими результатами; кажется странным, что не все начально-граничные условия необходимо явно использовать для решения дифференциальной системы. Однако хорошо известно, что любой эллиптическое уравнение имеет одно и только одно решение для любых функциональных условий на четырех сторонах прямоугольника при условии, что на краях нет разрывов. Причина заблуждения в том, что ученые и инженеры обычно думают в граничных условиях в терминах слабая конвергенция в Гильбертово пространство (расстояние до граничной функции достаточно мало для практических целей). Напротив, задачи Коши предполагают двухточечную сходимость к заданной граничной функции и всем ее производным (и это довольно сильное условие!). Для первых функция удовлетворяет граничному условию, когда площадь (или другое функциональное расстояние) между ним и истинной функцией, заданной на границе, настолько мало, насколько желательно; для вторых, однако, функция должна стремиться к истинной функции, наложенной в любой точке интервала.

Прокомментированная задача Пуассона не имеет решения ни для каких функциональных граничных условий. ж1, ж2, грамм1, грамм2; однако, учитывая ж1, ж2 всегда можно найти граничные функции грамм1*, грамм2* так близко к грамм1, грамм2 желаемым (в смысле слабой сходимости), для которого проблема имеет решение. Это свойство позволяет решать задачу Пуассона и многие другие задачи с произвольными граничными условиями, но никогда для аналитических функций, точно заданных на границах. Читатель может убедиться в высокой чувствительности решений УЧП к малым изменениям граничных условий, если: решение этой задачи, интегрируя по Икс-направление, при этом граничные функции немного отличаются, хотя визуально не различимы. Например, решение с граничными условиями:

в Икс = 0 и Икс = 0,5, и решение с граничными условиями:

в Икс = 0 и Икс = 0,5, производят боковые функции с разной выпуклостью знаков, даже если обе функции визуально неразличимы.

Решения эллиптических задач и других дифференциальных уравнений в частных производных очень чувствительны к небольшим изменениям граничной функции, налагаемой, когда используются только две стороны. И эту чувствительность нелегко совместить с моделями, которые, как предполагается, представляют реальные системы, которые описываются посредством измерений, содержащих экспериментальные ошибки, и обычно выражаются как начально-краевые задачи в гильбертовом пространстве.

Улучшения метода декомпозиции

Сообщалось как минимум о трех методах[6][7][8] для получения граничных функций грамм1*, грамм2* которые совместимы с любым боковым набором условий {ж1, ж2} наложено. Это позволяет найти аналитическое решение любой граничной задачи УЧП на замкнутом прямоугольнике с требуемой точностью, что позволяет решать широкий круг задач, которые стандартный метод Адомиана не мог решить.

Первый возмущает две граничные функции, наложенные на Икс = 0 и Икс = Икс1 (условие 1-а) с Nмногочлен -го порядка от у: п1, п2 таким образом, что: ж1' = ж1 + п1, ж2' = ж2 + п2, где нормы двух функций возмущения меньше точности, необходимой на границах. Эти п1, п2 зависят от набора полиномиальных коэффициентов cя, я = 1, ..., N. Затем применяется метод Адомиана и получаются функции на четырех границах, которые зависят от набора cя, я = 1, ..., N. Наконец, граничная функция F(c1, c2, ..., cN) определяется как сумма этих четырех функций, а расстояние между F(c1, c2, ..., cN), а действительные граничные функции ((1-a) и (1-b)) минимизированы. Таким образом, задача свелась к глобальной минимизации функции F(c1, c2, ..., cN), который имеет глобальный минимум для некоторой комбинации параметров cя, я = 1, ..., N. Этот минимум может быть найден с помощью генетического алгоритма или другого метода оптимизации, например, предложенного Cherruault (1999).[9]

Второй метод получения аналитических аппроксимаций начально-краевых задач - это сочетание адомианского разложения со спектральными методами.[7]

Наконец, третий метод, предложенный Гарсиа-Оливаресом, основан на наложении аналитических решений на четырех границах, но модификации исходного дифференциального оператора таким образом, что он отличается от исходного только в узкой области, близкой к границам, и он заставляет решение точно удовлетворять аналитическим условиям на четырех границах.[8]

Галерея

Адомиан график уравнения ДимаАдомианский график уравнения Бюргерса-ФишераУравнение Курамото-Сивашинского решение Адомиана sin plot

Рекомендации

  1. ^ а б Адомян Г. (1994). Решение пограничных задач физики: метод декомпозиции. Kluwer Academic Publishers.
  2. ^ Адомян, Г. (1986). Нелинейные стохастические операторные уравнения. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-12-044375-8. [1]
  3. ^ Ляо, С.Дж. (2012), Метод гомотопического анализа в нелинейном дифференциальном уравнении., Берлин и Пекин: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3642251313 [2]
  4. ^ Вазваз, Абдул-Маджид (2009). Уравнения с частными производными и теория уединенных волн. Пресса о высшем образовании. п. 15. ISBN 978-90-5809-369-1.
  5. ^ Cherruault, Y. (1989), "Конвергенция метода Адомиана", Kybernetes, 18 (2): 31–38, Дои:10.1108 / eb005812
  6. ^ а б Гарсия-Оливарес, А. (2003), "Аналитическое решение уравнений в частных производных с разложением Адомиана", Kybernetes, 32 (3): 354–368, Дои:10.1108/03684920310458584 [3]
  7. ^ а б Гарсия-Оливарес, А.(2002), "Аналитические аппроксимации нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных с помощью тау-методов", Математика и компьютеры в моделировании, 61: 35–45, Дои:10.1016 / s0378-4754 (02) 00133-7, HDL:10261/51182 [4]
  8. ^ а б Гарсия-Оливарес, А. (2003), "Аналитическое решение нелинейных уравнений физики в частных производных", Kybernetes, 32 (4): 548–560, Дои:10.1108/03684920310463939, HDL:10261/51176 [DOI: 10.1108 / 03684920310463939] [5]
  9. ^ Шерруо, Ю. (1999). Оптимизация, локальные и глобальные методы. Прессы Universitaires de France. ISBN 978-2-13-049910-7.