WikiDer > Александров расширение

Alexandroff extension

в математический поле топология, то Александров расширение способ расширить некомпактный топологическое пространство присоединив единственную точку таким образом, чтобы полученное пространство компактный. Он назван в честь русского математика. Павел Александров.Точнее, пусть Икс быть топологическим пространством. Тогда Александровское расширение Икс некое компактное пространство Икс* вместе с открыто встраивание c : Икс → Икс* такое, что дополнение Икс в Икс* состоит из одной точки, обычно обозначаемой ∞. Карта c Хаусдорф компактификация если и только если Икс является локально компактным некомпактным Пространство Хаусдорфа. Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечная компактификация или Александрова компактификация. Преимущества компактификации Александрова заключаются в ее простой, часто геометрически значимой структуре и том факте, что она в точном смысле является минимальной среди всех компактификаций; недостаток заключается в том, что он дает компактификацию Хаусдорфа только на классе локально компактных, некомпактных хаусдорфовых пространств, в отличие от Каменно-чешская компактификация который существует для любого топологическое пространство, гораздо больший класс пространств.

Пример: обратная стереографическая проекция

Геометрически привлекательный пример одноточечной компактификации дает обратный стереографическая проекция. Напомним, что стереографическая проекция S дает явный гомеоморфизм от единичной сферы без северного полюса (0,0,1) до евклидовой плоскости. Обратная стереографическая проекция ${ Displaystyle S ^ {- 1}: mathbb {R} ^ {2} hookrightarrow S ^ {2}}$ - открытое плотное вложение в компактное хаусдорфово пространство, полученное присоединением дополнительной точки ${ Displaystyle infty = (0,0,1)}$ . Под стереографической проекцией широтные круги ${ displaystyle z = c}$ быть сопоставленным с плоскими кругами ${ Displaystyle г = { sqrt {(1 + с) / (1-с)}}}$ . Отсюда следует, что удаленный базис соседства ${ Displaystyle (0,0,1)}$ дан проколотыми сферическими крышками ${ Displaystyle с Leq Z <1}$ соответствует комплектующим замкнутых планарных дисков ${ Displaystyle г geq { sqrt {(1 + с) / (1-с)}}}$ . Более качественно основа соседства на ${ displaystyle infty}$ обставлен наборами ${ Displaystyle S ^ {- 1} ( mathbb {R} ^ {2} setminus K) чашка { infty }}$ так как K пробегает через компактные подмножества ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ . Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая.

Мотивация

Позволять ${ displaystyle c: X hookrightarrow Y}$ быть вложением из топологического пространства Икс в компактное хаусдорфово топологическое пространство Y, с плотным изображением и одноточечным остатком ${ Displaystyle { infty } = Y setminus c (X)}$ . потом c(Икс) открыто в компактном хаусдорфовом пространстве, поэтому является локально компактным хаусдорфовым, поэтому его гомеоморфный прообраз Икс также является локально компактным по Хаусдорфу. Более того, если Икс были компактными тогда c(Икс) будет закрыто в Y а значит, не плотный. Таким образом, пространство может допускать хаусдорфову одноточечную компактификацию, только если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, в такой одноточечной компактификации образ базиса окрестности для Икс в Икс дает основу соседства для c(Икс) в c(Икс), и - поскольку подмножество компактного хаусдорфова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто - открытые окрестности ${ displaystyle infty}$ должны быть все множества, полученные путем присоединения ${ displaystyle infty}$ к изображению под c подмножества Икс с компактным дополнением.

Расширение Александрова

Положил ${ Displaystyle X ^ {*} = X чашка { infty }}$ , и топологизировать ${ Displaystyle X ^ {*}}$ взяв в качестве открытых множеств все открытые подмножества U из Икс вместе со всеми наборами ${ Displaystyle В = (Икс setminus C) чашка { infty }}$ где C закрыта и компактна в Икс. Вот, ${ Displaystyle X setminus C}$ обозначает setminus. Обратите внимание, что ${ displaystyle V}$ открытый район ${ Displaystyle { infty }}$ , и, следовательно, любая открытая крышка ${ Displaystyle { infty }}$ будет содержать все, кроме компактного подмножества ${ displaystyle C}$ из ${ Displaystyle X ^ {*}}$ , подразумевая, что ${ Displaystyle X ^ {*}}$ компактна (Келли 1975, п. 150).

Карта включения ${ displaystyle c: X rightarrow X ^ {*}}$ называется Александров расширение из Икс (Уиллард, 19А).

Все перечисленные ниже свойства вытекают из приведенного выше обсуждения:

Карта c непрерывный и открытый: он встраивает Икс как открытое подмножество ${ Displaystyle X ^ {*}}$ .
Космос ${ displaystyle X ^ {*}}$ компактный.
Изображение c(Икс) плотно в ${ Displaystyle X ^ {*}}$ , если Икс некомпактный.
Космос ${ Displaystyle X ^ {*}}$ является Хаусдорф если и только если Икс Хаусдорф и локально компактный.
Космос ${ Displaystyle X ^ {*}}$ является Т₁ если и только если Икс это T₁.

Компактификация по одной точке

В частности, расширение Александрова ${ displaystyle c: X rightarrow X ^ {*}}$ является компактификацией Хаусдорфа Икс если и только если Икс хаусдорфово, некомпактно и локально компактно. В этом случае он называется одноточечная компактификация или Александрова компактификация из Икс.

Напомним из приведенного выше обсуждения, что любая компактификация Хаусдорфа с одним остаточным остатком обязательно (изоморфна) компактификации Александрова. В частности, если ${ displaystyle X}$ компактное хаусдорфово пространство и ${ displaystyle p}$ это предельная точка из ${ displaystyle X}$ (т.е. не изолированную точку ${ displaystyle X}$ ), ${ displaystyle X}$ является компактификацией Александрова ${ Displaystyle X setminus {p }}$ .

Позволять Икс быть любым некомпактным Тихоновское пространство. При естественном частичном упорядочивании на множестве ${ Displaystyle { mathcal {C}} (X)}$ классов эквивалентности компактификаций любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькинг, теорема 3.5.12). Отсюда следует, что некомпактное тихоновское пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно.

Нехаусдорфовы одноточечные компактификации

Позволять ${ Displaystyle (Х, тау)}$ - произвольное некомпактное топологическое пространство. При желании можно определить все компактификации (не обязательно по Хаусдорфу) ${ displaystyle X}$ полученный добавлением единственной точки, которую также можно было бы назвать одноточечные компактификации в контексте. Итак, человек хочет определить все возможные способы дать ${ Displaystyle X ^ {*} = X чашка { infty }}$ компактная топология такая, что ${ displaystyle X}$ плотно в нем, а топология подпространств на ${ displaystyle X}$ вызванный из ${ Displaystyle X ^ {*}}$ такая же, как и исходная топология. Последнее условие совместимости топологии автоматически означает, что ${ displaystyle X}$ плотно в ${ displaystyle X ^ {*}}$ , потому что ${ displaystyle X}$ не компактно, поэтому его нельзя замкнуть в компактном пространстве. Кроме того, это факт, что отображение включения ${ displaystyle c: X to X ^ {*}}$ обязательно открыто встраивание, то есть ${ displaystyle X}$ должен быть открыт в ${ Displaystyle X ^ {*}}$ и топология на ${ displaystyle X ^ {*}}$ должен содержать каждого члена ${ Displaystyle тау}$ .^[1]Итак, топология на ${ Displaystyle X ^ {*}}$ определяется окрестностями ${ displaystyle infty}$ . Любой район ${ displaystyle infty}$ обязательно является дополнением в ${ Displaystyle X ^ {*}}$ замкнутого компактного подмножества ${ displaystyle X}$ , как обсуждалось ранее.

Топологии на ${ displaystyle X ^ {*}}$ что делает его компактификацией ${ displaystyle X}$ являются следующими:

Александровское расширение ${ displaystyle X}$ определено выше. Здесь мы берем дополнения ко всем замкнутым компактным подмножествам ${ displaystyle X}$ как окрестности ${ displaystyle infty}$ . Это самая большая топология, которая делает ${ displaystyle X ^ {*}}$ одноточечная компактификация ${ displaystyle X}$ .
В топология открытого расширения. Здесь мы добавляем одну окрестность ${ displaystyle infty}$ , а именно все пространство ${ Displaystyle X ^ {*}}$ . Это наименьшая топология, которая делает ${ Displaystyle X ^ {*}}$ одноточечная компактификация ${ displaystyle X}$ .
Любая промежуточная топология между двумя вышеперечисленными топологиями. Для районов ${ displaystyle infty}$ нужно выбрать подходящее подсемейство дополнений всех замкнутых компактных подмножеств ${ displaystyle X}$ ; например, дополнения ко всем конечным замкнутым компактным подмножествам или дополнения ко всем счетным замкнутым компактным подмножествам.

Дальнейшие примеры

Компактификации дискретных пространств

Одноточечная компактификация множества натуральных чисел есть гомеоморфный в пространство, состоящее из K = {0} U {1 /п | п положительное целое число} с топологией порядка.
Последовательность ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ в топологическом пространстве ${ displaystyle X}$ сходится к точке ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle X}$ , тогда и только тогда, когда карта ${ displaystyle f двоеточие mathbb {N} ^ {*} to X}$ данный ${ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ для ${ displaystyle n}$ в ${ Displaystyle mathbb {N}}$ и ${ Displaystyle е ( infty) = а}$ непрерывно. Вот ${ Displaystyle mathbb {N}}$ имеет дискретная топология.
Полиадические пространства определяются как топологические пространства, являющиеся непрерывным образом мощности одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфова пространства.

Компактификации непрерывных пространств

Одноточечная компактификация п-мерное евклидово пространство р^п гомеоморфен п-сфера S^п. Как и выше, карту можно явно задать как п-мерная обратная стереографическая проекция.
Одноточечная компактификация произведения ${ displaystyle kappa}$ копии полуоткрытого интервала [0,1), то есть ${ Displaystyle [0,1) ^ { каппа}}$ , является (гомеоморфным) ${ Displaystyle [0,1] ^ { каппа}}$ .
Поскольку замыкание связного подмножества связно, связное расширение Александрова некомпактного связного пространства. Однако одноточечная компактификация может «соединить» разрозненное пространство: например, одноточечная компактификация несвязного объединения конечного числа ${ displaystyle n}$ копий интервала (0,1) является клин ${ displaystyle n}$ круги.
Одноточечная компактификация дизъюнктного объединения счетного числа копий интервала (0,1) есть Гавайская серьга. Это отличается от клина из счетного числа окружностей, который не компактен.
Данный ${ displaystyle X}$ компактный Хаусдорф и ${ displaystyle C}$ любое закрытое подмножество ${ displaystyle X}$ , одноточечная компактификация ${ Displaystyle X setminus C}$ является ${ Displaystyle X / C}$ , где косая черта обозначает факторное пространство.^[2]
Если ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ локально компактны по Хаусдорфу, то ${ displaystyle (X times Y) ^ {*} = X ^ {*} клин Y ^ {*}}$ где ${ displaystyle wedge}$ это разбить продукт. Напомним, что определение smash product: ${ Displaystyle А клин В = (А раз В) / (А Ви В)}$ где ${ displaystyle A vee B}$ это сумма клина, и снова / обозначает фактор-пространство.^[2]

Как функтор

Расширение Alexandroff можно рассматривать как функтор от категория топологических пространств с собственными непрерывными отображениями как морфизмами категории, объектами которой являются непрерывные отображения ${ displaystyle c двоеточие X rightarrow Y}$ и для которого морфизмы из ${ displaystyle c_ {1} двоеточие X_ {1} rightarrow Y_ {1}}$ к ${ displaystyle c_ {2} двоеточие X_ {2} rightarrow Y_ {2}}$ пары непрерывных отображений ${ displaystyle f_ {X} двоеточие X_ {1} rightarrow X_ {2}, f_ {Y} двоеточие Y_ {1} rightarrow Y_ {2}}$ такой, что ${ displaystyle f_ {Y} circ c_ {1} = c_ {2} circ f_ {X}}$ . В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова.