WikiDer > Гомоморфизм алгебры
В математика, гомоморфизм алгебр является гомоморфизм между двумя ассоциативные алгебры. Точнее, если А и B находятся алгебры через поле (или же коммутативное кольцо) K, это функция такой, что для всех k в K и Икс, у в А,[1][2]
Первые два условия говорят, что F это K-линейная карта (или же K-модульный гомоморфизм если K коммутативное кольцо), а последнее условие говорит, что F является (неединичным) кольцевой гомоморфизм.
Если F признает обратный гомоморфизм, или, что то же самое, если он биективный, F считается изоморфизм между А и B.
Гомоморфизмы унитальной алгебры
Если А и B две унитальные алгебры, то гомоморфизм алгебр как говорят единый если он отображает единство А к единству B. Часто слова «гомоморфизм алгебры» фактически используются для обозначения «гомоморфизма алгебры с единицей», и в этом случае неунитальные гомоморфизмы алгебры исключаются.
Гомоморфизм унитальной алгебры - это (унитальный) кольцевой гомоморфизм.
Примеры
- Каждое кольцо - это -алгебра, поскольку всегда существует единственный гомоморфизм . Видеть Ассоциативная алгебра # Примеры для объяснения.
- Любой гомоморфизм коммутативных колец дает структура коммутативный р-алгебра. Наоборот, если S коммутативный р-алгебра, карта является гомоморфизмом коммутативных колец. Несложно сделать вывод, что сверхкатегория коммутативных колец над р совпадает с категорией коммутативных -алгебры.
- Если А это подалгебра из B, то для каждого обратимый б в B функция, которая принимает каждый а в А к б−1 а б является гомоморфизмом алгебр (в случае , это называется внутренним автоморфизмом B). Если А это также просто и B это центральная простая алгебра, то всякий гомоморфизм из А к B дано таким образом некоторыми б в B; это Теорема Сколема – Нётер.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN 0-387-95385-X.