WikiDer > Алгебраическое замыкание

Algebraic closure

В математика, особенно абстрактная алгебра, алгебраическое замыкание из поле K является алгебраическое расширение из K то есть алгебраически замкнутый. Это один из многих закрытие по математике.

С помощью Лемма Цорна^[1]^[2]^[3] или слабее лемма об ультрафильтрации,^[4]^[5] можно показать, что каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и что алгебраическое замыкание поля K уникальный вплоть до ан изоморфизм который исправления каждый член K. Из-за этой существенной уникальности мы часто говорим о то алгебраическое замыкание K, скорее, чем ан алгебраическое замыкание K.

Алгебраическое замыкание поля K можно рассматривать как наибольшее алгебраическое расширение K. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если L любое алгебраическое расширение K, то алгебраическое замыкание L также является алгебраическим замыканием K, и так L содержится в алгебраическом замыкании K.Алгебраическое замыкание K также является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K,потому что, если M - любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K, то элементы M которые алгебраический над K образуют алгебраическое замыкание K.

Алгебраическое замыкание поля K имеет то же самое мощность в качестве K если K бесконечно, и является счетно бесконечный если K конечно.^[3]

Примеры

В основная теорема алгебры утверждает, что алгебраическое замыкание поля действительные числа это область сложные числа.
Алгебраическое замыкание поля рациональное число это область алгебраические числа.
Внутри комплексных чисел имеется множество счетных алгебраически замкнутых полей, строго содержащих поле алгебраических чисел; это алгебраические замыкания трансцендентных расширений рациональных чисел, например алгебраическое замыкание Q(π).
Для конечное поле из основной порядок питания q, алгебраическое замыкание является счетно бесконечный поле, содержащее копию поля заказа q^п за каждый положительный целое число п (и фактически является объединением этих копий).^[6]

Существование алгебраических полей замыкания и расщепления

Позволять ${displaystyle S = {f_ {lambda} | лямбда в лямбде}}$ - множество всех унитарных неприводимых многочленов от K[Икс].Для каждого ${displaystyle f_ {lambda} на языке S}$ , ввести новые переменные ${displaystyle u_ {лямбда, 1}, ldots, u_ {лямбда, d}}$ куда ${displaystyle d = {m {deg}} (f_ {lambda})}$ .Позволять р кольцо многочленов над K создано ${displaystyle u_ {lambda, i}}$ для всех ${displaystyle lambda in Lambda}$ и все ${displaystyle ileq {м {степень}} (е_ {лямбда})}$ . Написать

{displaystyle f_ {lambda} -prod _ {i = 1} ^ {d} (x-u_ {lambda, i}) = sum _ {j = 0} ^ {d-1} r_ {lambda, j} cdot x ^ {j} в R [x]}

с ${displaystyle r_ {lambda, j} in R}$ .Позволять я быть идеалом в р генерируется ${displaystyle r_ {lambda, j}}$ . С я строго меньше, чем р, Из леммы Цорна следует, что существует максимальный идеал M в р который содержит я.Поле K₁=р/M обладает тем свойством, что каждый многочлен ${displaystyle f_ {lambda}}$ с коэффициентами в K раскалывается как продукт ${displaystyle x- (u_ {лямбда, i} + M),}$ и, следовательно, имеет все корни в K₁. Таким же образом расширение K₂ из K₁ могут быть построены и т. д. Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием K, потому что любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некоторых K_п с достаточно большим п, а затем его корни в K_{п + 1}, а значит, и в самом союзе.

Это может быть показано в тех же строках, что и для любого подмножества S из K[Икс] существует поле расщепления из S над K.

Раздельное закрытие

Алгебраическое замыкание K^alg из K содержит уникальный отделяемое расширение K^сен из K содержащий все (алгебраические) отделяемые расширения из K в K^alg. Это подрасширение называется отделяемое закрытие из K. Поскольку сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова сепарабельно, не существует конечных сепарабельных расширений K^сен, степени> 1. Другими словами, K содержится в раздельно-закрытый поле алгебраических расширений. Он уникален (вплоть до изоморфизм).^[7]

Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K это идеальное поле. Например, если K поле характеристики п и если Икс трансцендентален K, ${displaystyle K (X) ({sqrt [{p}] {X}}) supset K (X)}$ является несепарабельным расширением алгебраического поля.

В целом абсолютная группа Галуа из K группа Галуа K^сен над K.^[8]

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Алгебраическое замыкание

Содержание

Примеры

Существование алгебраических полей замыкания и расщепления

Раздельное закрытие

Смотрите также

Рекомендации