WikiDer > Углы между квартирами

Концепция чего-либо углы между линии в самолет и между парами из двух линий, двух плоскостей или линии и плоскости в Космос можно обобщить на произвольные измерение. Это обобщение впервые было обсуждено Иордания.^[1] Для любой пары квартиры в Евклидово пространство произвольной размерности можно определить набор взаимных углов, которые инвариантный под изометрический преобразование евклидова пространства. Если квартиры не пересекаются, их кратчайшие расстояние еще один инвариант.^[1] Эти углы называются канонический^[2] или же главный.^[3] Понятие углов можно обобщить на пары квартир в конечномерном пространстве. внутреннее пространство продукта над сложные числа.

Определение Иордании

Позволять ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ быть квартирой размеров ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle l}$ в ${ displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${ displaystyle E ^ {n}}$. По определению перевод из ${ displaystyle F}$ или же ${ displaystyle G}$ не меняет их взаимных углов. Если ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ не пересекаются, они сделают это при любом переводе ${ displaystyle G}$ который отображает некоторую точку в ${ displaystyle G}$ в какой-то момент в ${ displaystyle F}$. Поэтому без ограничения общности можно предположить, что ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ пересекаются.

Иордания показывает, что Декартовы координаты ${ displaystyle x_ {1}, dots, x _ { rho},}$ ${ displaystyle y_ {1}, dots, y _ { sigma},}$ ${ displaystyle z_ {1}, dots, z _ { tau},}$ ${ displaystyle u_ {1}, dots, u _ { upsilon},}$ ${ displaystyle v_ {1}, dots, v _ { alpha},}$ ${ Displaystyle ш_ {1}, точки, ш _ { альфа}}$ в ${ displaystyle E ^ {n}}$ тогда можно определить так, что ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ описываются соответственно системами уравнений

${ displaystyle x_ {1} = 0, dots, x _ { rho} = 0,}$

${ displaystyle u_ {1} = 0, dots, u _ { upsilon} = 0,}$

${ Displaystyle v_ {1} = 0, точки, v _ { alpha} = 0}$

и

${ displaystyle x_ {1} = 0, dots, x _ { rho} = 0,}$

${ displaystyle z_ {1} = 0, dots, z _ { tau} = 0,}$

${ displaystyle v_ {1} cos theta _ {1} + w_ {1} sin theta _ {1} = 0, dots, v _ { alpha} cos theta _ { alpha} + w_ { alpha} sin theta _ { alpha} = 0}$

с ${ displaystyle 0 < theta _ {i} < pi / 2, i = 1, dots, alpha}$. Джордан называет эти координаты канонический. По определению углы ${ displaystyle theta _ {я}}$ являются углы между ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$.

Неотрицательные целые числа ${ displaystyle rho, sigma, tau, upsilon, alpha}$ сдерживаются

${ Displaystyle ро + сигма + тау + ипсилон +2 альфа = п,}$

${ Displaystyle сигма + тау + альфа = к,}$

${ displaystyle sigma + upsilon + alpha = ell.}$

Чтобы эти уравнения полностью определяли пять неотрицательных целых чисел, помимо размеров ${ displaystyle n, k}$ и ${ displaystyle ell}$ и число ${ displaystyle alpha}$ углов ${ displaystyle theta _ {я}}$, неотрицательное целое число ${ displaystyle sigma}$ должно быть дано. Это количество координат ${ displaystyle y_ {i}}$, чьи соответствующие оси полностью лежат внутри обеих ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$. Целое число ${ displaystyle sigma}$ таким образом, размер ${ Displaystyle F cap G}$. Набор углов ${ displaystyle theta _ {я}}$ может быть дополнен ${ displaystyle sigma}$ углы ${ displaystyle 0}$ чтобы указать, что ${ Displaystyle F cap G}$ имеет это измерение.

Доказательство Джордана применяется по существу без изменений, когда ${ displaystyle E ^ {n}}$ заменяется на ${ displaystyle n}$-размерное внутреннее пространство продукта ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ над комплексными числами. (За углы между подпространствами, обобщение на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ обсуждается Галантаи и Хегедес в терминах нижеприведенного вариационная характеристика.^[4])^[1]

Углы между подпространствами

Теперь позвольте ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ быть подпространства из ${ displaystyle n}$-размерное внутреннее пространство продукта над настоящий или комплексные числа. Геометрически, ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ плоские, поэтому применимо определение взаимных углов, данное Джорданом. Когда для любой канонической координаты ${ displaystyle xi}$ символ ${ displaystyle { hat { xi}}}$ обозначает единичный вектор из ${ displaystyle xi}$ оси, векторы ${ displaystyle { hat {y}} _ {1}, dots, { hat {y}} _ { sigma},}$ ${ displaystyle { hat {w}} _ {1}, dots, { hat {w}} _ { alpha},}$ ${ displaystyle { hat {z}} _ {1}, dots, { hat {z}} _ { tau}}$ для мужчин ортонормированный основа за ${ displaystyle F}$ и векторы ${ displaystyle { hat {y}} _ {1}, dots, { hat {y}} _ { sigma},}$ ${ displaystyle { hat {w}} '_ {1}, dots, { hat {w}}' _ { alpha},}$ ${ displaystyle { hat {u}} _ {1}, dots, { hat {u}} _ { upsilon}}$ образуют ортонормированный базис для ${ displaystyle G}$, куда

${ displaystyle { hat {w}} '_ {i} = { hat {w}} _ {i} cos theta _ {i} + { hat {v}} _ {i} sin theta _ {i}, quad i = 1, dots, alpha.}$

Эти базовые векторы, связанные с каноническими координатами, можно назвать канонический.

Когда ${ displaystyle a_ {i}, i = 1, dots, k}$ обозначим канонические базисные векторы для ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle b_ {i}, i = 1, dots, l}$ канонические базисные векторы для ${ displaystyle G}$ затем внутренний продукт ${ displaystyle langle a_ {i}, b_ {j} rangle}$ исчезает для любой пары ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ кроме следующих.

${ displaystyle { begin {align} & langle { hat {y}} _ {i}, { hat {y}} _ {i} rangle = 1, && i = 1, dots, sigma, & langle { hat {w}} _ {i}, { hat {w}} '_ {i} rangle = cos theta _ {i}, && i = 1, dots, alpha . end {выровнен}}}$

При указанном выше порядке основных векторов матрица внутренних продуктов ${ displaystyle langle a_ {i}, b_ {j} rangle}$ таким образом диагональ. Другими словами, если ${ Displaystyle (а '_ {я}, я = 1, точки, к)}$ и ${ Displaystyle (Ь '_ {я}, я = 1, точки, ell)}$ - произвольные ортонормированные базисы в ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ затем реальный, ортогональный или же унитарный трансформации из основы ${ displaystyle (а '_ {я})}$ к основе ${ Displaystyle (а_ {я})}$ и из основы ${ displaystyle (b '_ {я})}$ к основе ${ displaystyle (b_ {i})}$ реализовать разложение по сингулярным числам матрицы внутренних продуктов ${ displaystyle langle a '_ {i}, b' _ {j} rangle}$. Диагональные матричные элементы ${ displaystyle langle a_ {i}, b_ {i} rangle}$ - сингулярные значения последней матрицы. В силу единственности разложения по сингулярным числам векторы ${ displaystyle { hat {y}} _ {i}}$ тогда уникальны с точностью до действительного, ортогонального или унитарного преобразования между ними, а векторы ${ displaystyle { hat {w}} _ {i}}$ и ${ displaystyle { hat {w}} '_ {i}}$ (и поэтому ${ displaystyle { hat {v}} _ {i}}$) уникальны с точностью до равных действительных, ортогональных или унитарных преобразований, применяемых одновременно к множествам векторов ${ displaystyle { hat {w}} _ {i}}$ связаны с общей ценностью ${ displaystyle theta _ {я}}$ и соответствующим наборам векторов ${ displaystyle { hat {w}} '_ {я}}$ (и, следовательно, к соответствующим наборам ${ displaystyle { hat {v}} _ {i}}$).

Особое значение ${ displaystyle 1}$ можно интерпретировать как ${ Displaystyle соз , 0}$ соответствующие углам ${ displaystyle 0}$ введены выше и связаны с ${ Displaystyle F cap G}$ и сингулярное значение ${ displaystyle 0}$ можно интерпретировать как ${ Displaystyle соз пи / 2}$ соответствующие прямым углам между ортогональный пробелы ${ Displaystyle F cap G ^ { bot}}$ и ${ displaystyle F ^ { bot} cap G}$, где верхний индекс ${ displaystyle bot}$ обозначает ортогональное дополнение.

Вариационная характеристика

В вариационная характеристика сингулярных значений и векторов подразумевает как частный случай вариационную характеризацию углов между подпространствами и связанными с ними каноническими векторами. Эта характеристика включает углы ${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle pi / 2}$ введенный выше, и упорядочивает углы, увеличивая значение. Ему можно придать форму альтернативного определения, приведенного ниже. В этом контексте принято говорить о главный углы и векторы.^[3]

Определение

Позволять ${ displaystyle V}$ быть внутренним пространством продукта. Учитывая два подпространства ${ displaystyle { mathcal {U}}, { mathcal {W}}}$ с ${ displaystyle dim ({ mathcal {U}}) = k leq dim ({ mathcal {W}}): = ell}$, тогда существует последовательность ${ displaystyle k}$ углы ${ displaystyle 0 leq theta _ {1} leq theta _ {2} leq cdots leq theta _ {k} leq pi / 2}$ называемые главными углами, первый из которых определяется как

${ displaystyle theta _ {1}: = min left { arccos left ( left. { frac {| langle u, w rangle |} { | u | | w | }} right) , right | , u in { mathcal {U}}, w in { mathcal {W}} right } = angle (u_ {1}, w_ {1} ),}$

куда ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ это внутренний продукт и ${ displaystyle | cdot |}$ индуцированный норма. Векторы ${ displaystyle u_ {1}}$ и ${ displaystyle w_ {1}}$ соответствующие главные векторы.

Другие главные углы и векторы затем определяются рекурсивно через

${ displaystyle theta _ {i}: = min left { left. arccos left ({ frac {| langle u, w rangle |} { | u | | w | }} right) , right | , u in { mathcal {U}}, ~ w in { mathcal {W}}, ~ u perp u_ {j}, ~ w perp w_ { j} quad forall j in {1, ldots, i-1 } right }.}$

Это означает, что главные углы ${ displaystyle ( theta _ {1}, ldots, theta _ {k})}$ образуют набор минимизированных углов между двумя подпространствами, и главные векторы в каждом подпространстве ортогональны друг другу.

Примеры

Геометрический пример

Геометрически подпространства квартиры (точки, линии, плоскости и т. д.), которые включают начало координат, поэтому любые два подпространства пересекаются по крайней мере в начале координат. Два двумерных подпространства ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ создать набор из двух углов. В трехмерном Евклидово пространство, подпространства ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ либо идентичны, либо их пересечение образует линию. В первом случае оба ${ Displaystyle theta _ {1} = theta _ {2} = 0}$. В последнем случае только ${ displaystyle theta _ {1} = 0}$, где векторы ${ displaystyle u_ {1}}$ и ${ displaystyle w_ {1}}$ находятся на линии пересечения ${ Displaystyle { mathcal {U}} cap { mathcal {W}}}$ и имеют то же направление. Угол ${ displaystyle theta _ {2}> 0}$ будет угол между подпространствами ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ в ортогональное дополнение к ${ Displaystyle { mathcal {U}} cap { mathcal {W}}}$. Представляя угол между двумя плоскостями в 3D, можно интуитивно представить себе наибольший угол, ${ displaystyle theta _ {2}> 0}$.

Алгебраический пример

В 4-мерном реальном координатном пространстве р⁴, пусть двумерное подпространство ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ быть охваченным ${ displaystyle u_ {1} = (1,0,0,0)}$ и ${ displaystyle u_ {2} = (0,1,0,0)}$, и пусть двумерное подпространство ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ быть охваченным ${ displaystyle w_ {1} = (1,0,0, a) / { sqrt {1 + a ^ {2}}}}$ и ${ displaystyle w_ {2} = (0,1, b, 0) / { sqrt {1 + b ^ {2}}}}$ с некоторыми настоящими ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ такой, что ${ displaystyle | a | <| b |}$. потом ${ displaystyle u_ {1}}$ и ${ displaystyle w_ {1}}$ фактически являются парой главных векторов, соответствующих углу ${ displaystyle theta _ {1}}$ с ${ displaystyle cos ( theta _ {1}) = 1 / { sqrt {1 + a ^ {2}}}}$, и ${ displaystyle u_ {2}}$ и ${ displaystyle w_ {2}}$ - главные векторы, соответствующие углу ${ displaystyle theta _ {2}}$ с ${ displaystyle cos ( theta _ {2}) = 1 / { sqrt {1 + b ^ {2}}}.}$

Чтобы построить пару подпространств с любым заданным набором ${ displaystyle k}$ углы ${ displaystyle theta _ {1}, ldots, theta _ {k}}$ в ${ displaystyle 2k}$ (или больше) размерный Евклидово пространствовозьмем подпространство ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ с ортонормированным базисом ${ displaystyle (е_ {1}, ldots, e_ {k})}$ и дополним его до ортонормированного базиса ${ Displaystyle (е_ {1}, ldots, е_ {п})}$ евклидова пространства, где ${ displaystyle n geq 2k}$. Тогда ортонормированный базис другого подпространства ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ является, например,

${ displaystyle ( соз ( theta _ {1}) e_ {1} + sin ( theta _ {1}) e_ {k + 1}, ldots, cos ( theta _ {k}) e_ {k} + sin ( theta _ {k}) e_ {2k}).}$

Основные свойства

• Если наибольший угол равен нулю, одно подпространство является подмножеством другого.
• Если наибольший угол ${ displaystyle pi / 2}$, есть хотя бы один вектор в одном подпространстве, перпендикулярном другому подпространству.
• Если наименьший угол равен нулю, подпространства пересекаются, по крайней мере, по прямой.
• Если наименьший угол ${ displaystyle pi / 2}$, подпространства ортогональны.
• Число углов, равное нулю, - это размерность пространства, в котором пересекаются два подпространства.

Дополнительные свойства

• Нетривиальный (отличный от ${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle pi / 2}$ ^[5]) углы между двумя подпространствами такие же, как нетривиальные углы между их ортогональными дополнениями.^[6][7]
• Нетривиальные углы между подпространствами ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ и соответствующие нетривиальные углы между подпространствами ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {W}} ^ { perp}}$ суммировать ${ displaystyle pi / 2}$.^[6][7]
• Углы между подпространствами удовлетворяют условию неравенство треугольника с точки зрения мажоризация и, таким образом, может использоваться для определения расстояние на множестве всех подпространств, превращающих множество в метрическое пространство.^[8]
• В синус углов между подпространствами удовлетворяют неравенство треугольника с точки зрения мажоризация и, таким образом, может использоваться для определения расстояние на множестве всех подпространств, превращающих множество в метрическое пространство.^[6] Например, синус наибольшего угла известен как разрыв между подпространствами.^[9]

Расширения

Понятие углов и некоторых вариационных свойств естественным образом распространяется на произвольные внутренние продукты^[10] и подпространства с бесконечным размеры.^[7]

Вычисление

Исторически главные углы и векторы сначала появляются в контексте каноническая корреляция и были первоначально рассчитанный с помощью СВД соответствующих ковариация матрицы. Однако, как впервые было замечено в^[3] то каноническая корреляция относится к косинус главных углов, что составляет плохо воспитанный для малых углов, что приводит к очень неточному вычислению сильно коррелированных главных векторов в конечных точность компьютерная арифметика. В синусалгоритм на основе^[3] устраняет эту проблему, но создает новую проблему очень неточного вычисления сильно некоррелированных главных векторов, поскольку синус функция плохо воспитанный для углов, близких к π/2. Для получения точных главных векторов в компьютерная арифметика для полного диапазона главных углов комбинированная техника^[10] сначала вычислите все главные углы и векторы, используя классический косинус-основанный подход, а затем пересчитывает главные углы, меньшие, чем π/4 и соответствующие главные векторы с использованием синусоснованный на подходе.^[3] Комбинированная техника^[10] реализуется в Открытый исходный код библиотеки Октава^[11] и SciPy^[12] и внес ^[13] и ^[14] к MATLAB.

Смотрите также

• Разложение по сингулярным числам
• Каноническая корреляция

Рекомендации