WikiDer > Принцип аргументации

Простой контур C (черный), нули ж (синий) и полюса ж (красный). Здесь у нас есть ${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} {f '(z) over f (z)} , dz = 4–5.}$

В комплексный анализ, то принцип аргумента (или же Принцип аргумента Коши) связывает разницу между количеством нули и полюсы из мероморфная функция к контурный интеграл функции логарифмическая производная.

В частности, если ж(z) - мероморфная функция внутри и на некотором замкнутом контуре C, и ж не имеет нулей или полюсов на C, тогда

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} {f '(z) over f (z)} , dz = Z-P}$

куда Z и п обозначим соответственно количество нулей и полюсов ж(z) внутри контура C, где каждый нуль и полюс считаются столько раз, сколько их множественность и порядоксоответственно указывают. Это утверждение теоремы предполагает, что контур C простой, то есть без самопересечений, и что он ориентирован против часовой стрелки.

В более общем плане предположим, что ж(z) - мероморфная функция на открытый набор Ω в комплексная плоскость и это C - замкнутая кривая в Ω, избегающая всех нулей и полюсов ж и является стягиваемый в точку внутри Ω. Для каждой точки z ∈ Ω, пусть п(C,z) быть номер намотки из C вокруг z. потом

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = sum _ {a} n (C, a) - sum _ {b} n (C, b)}$

где первое суммирование ведется по всем нулям а из ж с учетом их кратностей, а второе суммирование ведется по полюсам б из ж считал со своими заказами.

Интерпретация контурного интеграла

В контурный интеграл ${ displaystyle oint _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz}$ можно интерпретировать как 2πя умноженное на число извилистого пути ж(C) вокруг начала координат, используя замену ш = ж(z):

${ displaystyle oint _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = oint _ {f (C)} { frac {1} {w}} , dw}$

То есть это я умноженное на общее изменение аргумент из ж(z) в качестве z путешествует вокруг C, объясняя название теоремы; это следует из

${ displaystyle { frac {d} {dz}} log (f (z)) = { frac {f '(z)} {f (z)}}}$

и связь между аргументами и логарифмами.

Доказательство принципа аргумента

Позволять z_Z быть нулем ж. Мы можем написать ж(z) = (z − z_Z)^kграмм(z) куда k - кратность нуля, поэтому грамм(z_Z) ≠ 0. Получаем

${ displaystyle f '(z) = k (z-z_ {Z}) ^ {k-1} g (z) + (z-z_ {Z}) ^ {k} g' (z) , ! }$

и

${ displaystyle {f '(z) over f (z)} = {k over z-z_ {Z}} + {g' (z) over g (z)}.}$

С грамм(z_Z) ≠ 0, то грамм' (z)/грамм(z) не имеет особенностей при z_Z, и поэтому аналитична в z_Z, откуда следует, что остаток из ж′(z)/ж(z) в z_Z являетсяk.

Позволять z_п быть полюсом ж. Мы можем написать ж(z) = (z − z_п)^−мчас(z) куда м порядок полюса, а час(z_п) ≠ 0. Тогда

${ Displaystyle f '(z) = - м (z-z_ {P}) ^ {- m-1} час (z) + (z-z_ {P}) ^ {- m} h' (z) , !.}$

и

${ displaystyle {f '(z) over f (z)} = {- m over z-z_ {P}} + {h' (z) over h (z)}}$

аналогично тому, как указано выше. Следует, что час′(z)/час(z) не имеет особенностей при z_п поскольку час(z_п) ≠ 0 и, следовательно, аналитична в z_п. Мы находим, что остатокж′(z)/ж(z) в z_п это -м.

Собирая их вместе, каждый ноль z_Z множественности k из ж создает простой столб дляж′(z)/ж(z) с остатком k, и каждый полюс z_п порядка м изж создает простой столб для ж′(z)/ж(z) с остатком -м. (Здесь под простым полюсом мы понимаем полюс первого порядка.) Кроме того, можно показать, что ж′(z)/ж(z) не имеет других полюсов, а значит, и других остатков.

Посредством теорема о вычетах у нас есть интеграл о C это произведение 2πi и сумма остатков. Вместе сумма k для каждого нуля z_Z - это количество нулей с учетом кратностей нулей, а также для полюсов, так что мы получили наш результат.

Приложения и последствия

Принцип аргумента можно использовать для эффективного определения местоположения нулей или полюсов мероморфных функций на компьютере. Даже с ошибками округления выражение ${ displaystyle {1 over 2 pi i} oint _ {C} {f '(z) over f (z)} , dz}$ даст результаты, близкие к целому числу; путем определения этих целых чисел для разных контуров C можно получить информацию о расположении нулей и полюсов. Численные испытания Гипотеза Римана используйте эту технику, чтобы получить верхнюю границу количества нулей Римана ${ Displaystyle xi (s)}$ функция внутри прямоугольника, пересекающего критическую линию.

Доказательство Теорема Руше использует принцип аргумента.

Современные книги по теории управления с обратной связью довольно часто используют принцип аргумента в качестве теоретической основы Критерий устойчивости Найквиста.

Следствием более общей формулировки принципа аргумента является то, что при той же гипотезе, если грамм является аналитической функцией в Ω, то

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} g (z) { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = sum _ {a} n (C, a) g (a) - sum _ {b} n (C, b) g (b).}$

Например, если ж это многочлен с нулями z₁, ..., z_п внутри простого контура C, и грамм(z) = z^k, тогда

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} z ^ {k} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = z_ { 1} ^ {k} + z_ {2} ^ {k} + cdots + z_ {p} ^ {k},}$

является симметричный многочлен степенной суммы корней ж.

Другое следствие - если мы вычислим комплексный интеграл:

${ Displaystyle oint _ {C} е (г) {г '(г) над г (г)} , дз}$

для соответствующего выбора грамм и ж у нас есть Формула Абеля – Планы:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) - int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx = f (0) / 2 + i int _ {0} ^ { infty} { frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 pi t} -1}} , dt}$

который выражает связь между дискретной суммой и ее интегралом.

Принцип обобщенного аргумента

Немедленное обобщение принципа аргументации. Предположим, что g аналитична в области ${ displaystyle Omega}$. потом

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} {f '(z) over f (z)} g (z) , dz = sum _ {a} g (а) n (C, a) - sum _ {b} g (b) n (C, b)}$

где первое суммирование снова по всем нулям а из ж с учетом их кратностей, и второе суммирование снова проводится по полюсам б из ж считал со своими заказами.

История

Согласно книге Фрэнк Смитис (Коши и создание теории сложных функций, Cambridge University Press, 1997, стр. 177), Огюстен-Луи Коши представил теорему, аналогичную приведенной выше, 27 ноября 1831 года во время добровольного изгнания в Турине (тогдашнюю столицу Королевства Пьемонт-Сардиния) из Франции. Однако, согласно этой книге, упоминались только нули, а не полюсы. Эта теорема Коши была опубликована только много лет спустя, в 1874 г., в рукописном виде, поэтому ее довольно трудно читать. Коши опубликовал статью с обсуждением нулей и полюсов в 1855 году, за два года до своей смерти.

Смотрите также

• Логарифмическая производная
• Критерий устойчивости Найквиста

Рекомендации

• Рудин, Вальтер (1986). Реальный и комплексный анализ (Международная серия по чистой и прикладной математике). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного. Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Черчилль, Рюэль Вэнс; Браун, Джеймс Уорд (1989). Комплексные переменные и приложения. Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, C.R. Acad. Sci. Париж 158, 1979–1982 гг.

внешняя ссылка

• «Аргумент, принцип», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]