WikiDer > Арифметика абелевых многообразий

Arithmetic of abelian varieties

В математика, то арифметика абелевых многообразий это исследование теория чисел из абелева разновидность, или семейство абелевых разновидностей. Это восходит к исследованиям Пьер де Ферма на том, что теперь признано эллиптические кривые; и стала очень важной областью арифметическая геометрия как с точки зрения результатов, так и предположений. Большинство из них можно поставить перед абелевой разновидностью. А через числовое поле K; или в более общем плане (для глобальные поля или более общие конечно порожденные кольца или поля).

Целочисленные точки на абелевых многообразиях

Здесь есть некоторая напряженность между концепциями: целая точка принадлежит в некотором смысле к аффинная геометрия, в то время как абелева разновидность по сути определен в проективная геометрия. Основные результаты, такие как Теорема Зигеля о целых точках, исходят из теории диофантово приближение.

Рациональные точки зрения на абелевы многообразия

Основной результат, Теорема Морделла – Вейля. в Диофантова геометрия, Говорит, что А(K) группа точек на А над K, это конечно порожденная абелева группа. Много информации о его возможном торсионные подгруппы известно, по крайней мере, когда А - эллиптическая кривая. Вопрос о ранг считается связанным с L-функции (см. ниже).

В торсор теория здесь приводит к Группа Сельмера и Группа Тейт-Шафаревичпричем последнее (предположительно конечное) трудно изучать.

Высоты

Теория высоты играет заметную роль в арифметике абелевых многообразий. Например, канонический Высота Нерона – Тейта это квадратичная форма с замечательными свойствами, которые появляются в утверждении Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера.

Мод уменьшения п

Редукция абелевой разновидности А по модулю а главный идеал of (целые числа) K - скажем, простое число п - получить абелеву разновидность Ап через конечное поле, возможно для почти все п. «Плохие» простые числа, для которых уменьшение вырождается приобретая особые точки, как известно, содержат очень интересную информацию. Как это часто бывает в теории чисел, «плохие» простые числа играют в теории довольно активную роль.

Здесь уточненная теория (по сути) правый смежный к уменьшению мода п - в Модель Нерона - не всегда можно избежать. В случае эллиптической кривой существует алгоритм Джон Тейт описывая это.

L-функции

Для абелевых разновидностей, таких как Aп, есть определение локальная дзета-функция имеется в наличии. Чтобы получить L-функцию для самого A, нужно выбрать подходящий Произведение Эйлера таких локальных функций; чтобы понять конечное число множителей для «плохих» простых чисел, нужно обратиться к Модуль Тейт A, которая (двойственна) этальные когомологии группа H1(A), а Группа Галуа действие на нем. Таким образом получается респектабельное определение L-функция Хассе – Вейля для A. В целом его свойства, такие как функциональное уравнение, по-прежнему предположительны - Гипотеза Таниямы – Шимуры (что было доказано в 2001 году) было просто частным случаем, так что это неудивительно.

Именно в терминах этой L-функции гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера ставится. Это лишь один особенно интересный аспект общей теории значений L-функций L (s) при целых значениях s, и есть много эмпирических данных, подтверждающих это.

Комплексное умножение

Со времен Карл Фридрих Гаусс (кто знал о функция лемнискаты case) особая роль этих абелевых многообразий была известна с дополнительными автоморфизмами и более общими эндоморфизмами. Что касается кольца , есть определение абелева разновидность CM-типа это выделяет самый богатый класс. Они особенные по своей арифметике. Это видно в их L-функциях в довольно благоприятных условиях - гармонический анализ требуется все Понтрягинская двойственность тип, а не более общие автоморфные представления. Это отражает хорошее понимание их модулей Тейт как Модули Галуа. Это также делает их Сильнее рассматривать с точки зрения гипотезы алгебраическая геометрия (Гипотеза Ходжа и Гипотеза Тейта). В этих задачах особая ситуация более требовательна, чем общая.

В случае эллиптических кривых Kronecker Jugendtraum была программа Леопольд Кронекер предложено использовать эллиптические кривые CM-типа для теория поля классов явно для мнимые квадратичные поля - таким образом, чтобы корни единства позволяют сделать это для поля рациональных чисел. Это обобщает, но в некотором смысле с потерей явной информации (что типично для несколько сложных переменных).

Гипотеза Манина – Мамфорда

Гипотеза Манина – Мамфорда о Юрий Манин и Дэвид Мамфорд, доказано Мишель Рейно,[1][2] заявляет, что кривая C в его Якобиева многообразие J может содержать только конечное число точек конечного порядка (a точка кручения) в J, если только C = J. Существуют и другие более общие версии, такие как Гипотеза Богомолова что обобщает утверждение на точки не кручения.

использованная литература

  1. ^ Рейно, Мишель (1983). «Sous-varétés d'une varété abélienne et points de torsion». В Артин, Майкл; Тейт, Джон (ред.). Арифметика и геометрия. Материалы, посвященные И. Р. Шафаревичу к шестидесятилетию со дня рождения. Vol. I: арифметика. Успехи по математике (на французском языке). 35. Биркхойзер-Бостон. С. 327–352. Г-Н 0717600. Zbl 0581.14031.
  2. ^ Ресслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина-Мамфорда». У ван дер Гира, Жерар; Мунен, Бен; Скуф, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля - два параллельных мира. Успехи в математике. 239. Birkhäuser. С. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. Г-Н 2176757. Zbl 1098.14030.