WikiDer > Теория Артина – Шрайера

В математика, Теория Артина – Шрайера это филиал Теория Галуа, в частности положительный характеристика аналог Теория Куммера, для Галуа расширения степени, равной характеристике п. Артин и Шрайер (1927) ввел теорию Артина – Шрайера для расширений простой степени п, и Витт (1936) обобщил его на расширения степени простой степени п^п.

Если K это поле характерных п, а простое число, любой многочлен формы

${ displaystyle X ^ {p} -X + alpha, ,}$

за ${ displaystyle alpha}$ в K, называется Многочлен Артина – Шрайера. Когда ${ displaystyle alpha neq beta ^ {p} - beta}$ для всех ${ displaystyle beta in K}$, этот многочлен несводимый в K[Икс], и это поле расщепления над K это циклическое расширение из K степени п. Это следует из того, что для любого корня β, цифры β + я, за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p}$, сформировать все корни - Маленькая теорема Ферма- поэтому поле расщепления ${ Displaystyle К ( бета)}$.

Наоборот, любое расширение Галуа K степени п равно характеристике K является полем расщепления полинома Артина – Шрайера. Это можно доказать, используя аддитивные аналоги методов, используемых в Теория Куммера, Такие как Теорема Гильберта 90 и добавка Когомологии Галуа. Эти расширения называются Расширения Артина – Шрайера.

Расширения Артина – Шрайера играют роль в теории разрешимость радикалами, в характеристике п, представляющий один из возможных классов расширений в разрешимой цепочке.

Они также играют роль в теории абелевы разновидности и их изогении. В характеристике п, изогения степени п абелевых многообразий должны для своих функциональных полей давать либо расширение Артина – Шрайера, либо чисто неотделимое расширение.

Расширения Артина – Шрайера – Витта

Существует аналог теории Артина – Шрайера, описывающий циклические расширения в характеристической п из пстепень мощности (не только степень п сам), используя Векторы Витта, разработан Витт (1936).

Рекомендации

• Артин, Эмиль; Шрайер, Отто (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer Berlin / Heidelberg, 5: 225–231, Дои:10.1007 / BF02952522, ISSN 0025-5858
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, МИСТЕР 1878556, Zbl 0984.00001 Раздел VI.6
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, МИСТЕР 1737196, Zbl 0948.11001 Раздел VI.1
• Витт, Эрнст (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p^п. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p^п", Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком), 176: 126–140, Дои:10.1515 / crll.1937.176.126