WikiDer > Асимметричная норма

В математика, асимметричная норма на векторное пространство является обобщением концепции норма.

Определение

An асимметричная норма на настоящий векторное пространство V это функция ${displaystyle p: V o [0, + infty)}$ обладающий следующими свойствами:

• Субаддитивность, или неравенство треугольника: п(v + ш) ≤ п(v) + п(ш) для каждых двух векторов v,ш ∈ V.
• Однородность: п(λv) = λp(v) для каждого вектора v ∈ Икс и каждое неотрицательное действительное число λ ≥ 0.
• Положительная определенность: п(v)> 0, если только v = 0.

Асимметричные нормы отличаются от нормы в том, что они не должны удовлетворять равенству п(-v) = п(v).

Если опустить условие положительной определенности, то п является асимметричная полунорма. Более слабым условием, чем положительная определенность, является невырожденность: это для v ≠ 0, хотя бы одно из двух чисел п(v) и п(-v) не равно нулю.

Примеры

• На реальная линия р, функция п данный

${displaystyle p (x) = {egin {cases} | x |, & xleq 0; 2 | x |, & xgeq 0; end {cases}}}$

асимметричная норма, но не норма.

• В реальном векторном пространстве ${displaystyle V}$, то Функционал Минковского ${displaystyle p_ {B}}$ выпуклого подмножества ${displaystyle Bsubseteq V}$ содержащий начало координат определяется формулой

${displaystyle p_ {B} (v) = inf left {rgeq 0: vin rBight},}$ за ${displaystyle vin V}$

Этот функционал является асимметричной полунормой, если ${displaystyle B}$ является поглощающим множеством, а это значит, что ${displaystyle extstyle {igcup _ {rgeq 0} rB = V}}$, и гарантирует, что ${displaystyle p (v)}$ конечно для каждого ${displaystyle vin V}$.

Соответствие асимметричных полунорм и выпуклых подмножеств двойственного пространства

Если ${displaystyle B ^ {*} subteq mathbb {R} ^ {n}}$ это выпуклый набор содержащая начало, то асимметричная полунорма ${displaystyle p}$ можно определить на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ по формуле

${displaystyle extstyle {p (v) = max _ {varphi in B ^ {*}} langle varphi, vangle}}$.

Например, если ${displaystyle B ^ {*} subteq mathbb {R} ^ {2}}$ это квадрат с вершинами ${displaystyle (pm 1, pm 1)}$, тогда ${displaystyle p}$ это норма такси ${displaystyle v = (v_ {0}, v_ {1}) mapsto | v_ {0} | + | v_ {1} |}$. Разные выпуклые множества дают разные полунормы, и каждая асимметричная полунорма на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ можно получить из некоторого выпуклого множества, называемого его двойной шар. Следовательно, асимметричные полунормы находятся в индивидуальная переписка с выпуклыми множествами, содержащими начало координат. Полунорма ${displaystyle p}$ является

• положительно определенный тогда и только тогда, когда ${displaystyle B ^ {*}}$ содержит происхождение в его интерьер,
• вырождается тогда и только тогда, когда ${displaystyle B ^ {*}}$ содержится в линейное подпространство размером меньше чем ${displaystyle n}$, и
• симметричный тогда и только тогда, когда ${displaystyle B ^ {*} = - B ^ {*}}$.

В более общем смысле, если ${displaystyle V}$ это конечномерный реальное векторное пространство и ${displaystyle B ^ {*} подэтап V ^ {*}}$ компактное выпуклое подмножество двойное пространство ${displaystyle V ^ {*}}$ который содержит начало координат, тогда ${displaystyle extstyle {p (v) = max _ {varphi in B ^ {*}} varphi (v)}}$ асимметричная полунорма на ${displaystyle V}$.

Рекомендации

• Кобзаш, С. (2006). «Компактные операторы в пространствах с несимметричной нормой». Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math. 51 (4): 69–87. ISSN 0252-1938. МИСТЕР 2314639.
• С. Кобзас, Функциональный анализ в асимметричных нормированных пространствах, Границы математики, Базель: Birkhäuser, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6.

Этот линейная алгебра-связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е