WikiDer > Azimutale Projektion

EIN azimutale Projektion ist ein Kartenprojektion. Als Ausgangspunkt ist unten a Kugel genommen. Dies kann beispielsweise ein einfaches Modell der Erde sein oder eine Rechenkugel als Zwischenschritt in einer weiterführenden Projektion.

Eine azimutale Projektion ist dann a Bild einer kugelförmigen Oberfläche oder eines Teils davon, auf einer ebenen Oberfläche. Es gibt einen zentralen Punkt (auf der Kugeloberfläche und auf der Karte) mit der besonderen Eigenschaft, dass das Bild in allen die gleichen Eigenschaften hat Richtungen von diesem Punkt. Formaler ausgedrückt, wenn die Kugel um eine Achse durch diesen Punkt gedreht wird, wird das Bild angewendet, und das Ergebnis wird um denselben Winkel umgekehrt, das Ergebnis ist dasselbe, als ob das Bild direkt angewendet würde.

Große Kreise durch die Mitte verlaufen gerade Linien mit einer getreuen Darstellung der gegenseitigen Winkel. Gleiche Entfernungen vom Mittelpunkt auf der Karte entsprechen gleichen Entfernungen auf der Kugel. Ein im Mittelpunkt zentrierter Kreis auf der Karte ist ein kleiner Kreis oder Großkreis auf der Kugel, der auf einen Punkt in der Kugel direkt unter dem Mittelpunkt zentriert ist.

Mit:

• ${displaystyle r}$ die Entfernung auf der Karte vom Zentrum
• ${Anzeigestil R}$ der Radius der Kugel
• ${displaystyle alpha }$ das Mittenwinkel im Bogenmaß, das auf dem Bogen von einem Punkt auf der Kugel zum Mittelpunkt liegt, also der Abstand über die Kugeloberfläche, geteilt durch ${Anzeigestil R}$
• ${Anzeigestil s}$ das Rahmen^[1] in der Mitte

die Projektion auf ein gegebenes Zentrum ist gegeben durch ${Anzeigestil r(alpha)}$ als streng ansteigende Funktion von ${displaystyle alpha }$ mit ${Anzeigestil r(0)=0}$.

Wichtige Beispiele:

• Gnomonische Projektion (alle Großkreise sind gerade Linien), ${displaystyle r(alpha),=Rs an alpha}$      ${displaystyle (alpha <{frac {pi }{2}})}$
• Stereografische azimutale Projektion (winkeltreu), ${displaystyle r(alpha ),=2Rs an {frac {alpha}{2}}}$      ${Anzeigestil (Alpha$
• Orthographische azimutale Projektion (wie die Kugel aus großer Entfernung aussieht), ${displaystyle r(alpha),=Rssin alpha}$      ${displaystyle (alpha leq {frac {pi}{2}})}$
• Perspektivische Projektion - geometrische Projektion auf eine ebene Ebene (senkrecht zur Linie zur Mitte) aus einer Höhe ha über der Erdoberfläche, ${displaystyle r(alpha),={frac {hRssin alpha }{R h-Rcos alpha}}}$      ${displaystyle (alpha leq arccos {frac {R}{R h}})}$; mit ${Anzeigestil h=-R}$, ${Anzeigestil -2R}$ (Projektion ist von unten, aber die Karte wird von oben betrachtet) und unendlich ergibt dies (vorbehaltlich teilweise der Grenze von ${displaystyle alpha }$) die drei obigen Fälle.
• Äquidistante azimutale Projektion (distanztreu für Entfernungen zum Zentrum), ${Anzeigestil r(alpha)=Rsalpha}$
• Lambert . azimutale Projektion (oberflächenartig), ${displaystyle r(alpha)=2Rssin {frac {alpha}{2}}}$

Wird die Wahl der einheitlichen Skalierung getrennt von der Kartenprojektion betrachtet, können die Formeln bei der Berücksichtigung azimutaler Kartenprojektionen vereinfacht werden durch ${Anzeigestil s=1}$ oder ${Anzeigestil s=1/R}$ wählen. Für den gegenseitigen Vergleich ist es sinnvoll, den Faktor 2 zu verwenden, der in den Formeln für die Funktion verwendet wird ${Anzeigestil r(alpha)}$ ist in zwei der Projektionen von größter Bedeutung. Der Maßstab in der Mitte ist beispielsweise für alle Projektionen gleich.

Nimmt man den Nordpol als Zentrum, spricht man von einer normalen oder polaren azimutalen Projektion. Auf einem Breitengrad β im Bogenmaß ist ${displaystyle alpha ={frac {pi}{2}}-eta }$.

Mit der Mitte auf dem Äquator es gibt eine transversale oder äquatoriale azimutale Projektion. Andere Berührungspunkte ergeben schiefe azimutale Projektionen.

Die entfernungs- und flächentreuen Projektionen sind nicht 'real' (geometrisch) Projektionen, die anderen tun es.

Die radiale Skala ist ${displaystyle {frac {1}{R}}{frac {dr}{dalpha }}}$ und die Querskala ${displaystyle {frac {r}{Rsin alpha}}}$. In der stereographischen azimutalen Projektion sind beide überall gleich, nämlich:

${displaystyle {frac {s}{cos ^{2}{frac {alpha }{2}}}}}$

Nahe dem Zentrum (${Anzeigestil Alpha =0}$) besteht eine große Übereinstimmung zwischen den relevanten Ergebnissen, ungefähr immer ${Anzeigestil r=Rsalpha}$.