WikiDer > Схема балки и обогрева - Википедия

В вычислительной математике Схема балки и утепления или же Неявная схема Beam – Warming. представленный в 1978 году Ричардом М. Бимом и Р. Ф. Вармингом,^[1][2] второй порядок точности неявная схема, в основном используется для решения нелинейного гиперболического уравнения. В настоящее время он мало используется.

Вступление

Эта схема является пространственно-факторизованной, неитеративной, ADI схема и использование неявный Эйлер выполнить интеграцию времени. Алгоритм находится в дельта-форма, линеаризованный за счет реализации Тейлор-серия. Следовательно, наблюдается как приращение сохраняемых переменных. В этом случае эффективный факторизованный алгоритм получается путем явного вычисления пространственных взаимных производных. Это позволяет напрямую вывести схему и эффективное решение с использованием этого вычислительного алгоритма. Эффективность потому, что хотя это трехуровневая схема, но требует только двух временных уровней хранения данных. Это приводит к безусловной стабильности. Он центрирован и требует оператора искусственной диссипации, чтобы гарантировать численную стабильность.^[1]

Дельта-форма полученного уравнения обладает преимуществом стабильности (если она существует) независимо от размера временного шага.^[3]

Метод

Рассмотрим невязкий Уравнение Бюргерса в одном измерении

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = - и { frac { partial u} { partial x}} quad { text {with}} x in R}$

Уравнение Бюргерса в форме сохранения,

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = - { frac { partial E} { partial x}}}$

куда :${ displaystyle E = { frac {u ^ {2}} {2}}}$

Расширение ряда Тейлора

Расширение:${ Displaystyle и_ {я} ^ {п + 1}}$

${ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} + { frac {1} {2}} left [ left. { frac { partial u} { partial t}} right | _ {i} ^ {n} + left. { frac { partial u} { partial t}} right | _ {i} ^ {n + 1} right] , Delta t + O ( Delta t ^ {3})}$

Это также известно как формула трапеции.

${ displaystyle поэтому { frac {u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n}} { Delta t}} = - { frac {1} {2}} left ( left. { frac { partial E} { partial x}} right | _ {i} ^ {n + 1} + left. { frac { partial E} { partial x}} right | _ {i} ^ {n} + { frac { partial} { partial x}} left [A (u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n}) right ]верно)}$

${ displaystyle , потому что { frac { partial u} { partial t}} = - { frac { partial E} { partial x}}}$

Трехдиагональная система

Полученная трехдиагональная система:

${ displaystyle { begin {align} & - { frac { Delta t} {4 , Delta x}} left (A_ {i-1} ^ {n} u_ {i-1} ^ {n +1} right) + u_ {i} ^ {n + 1} + { frac { Delta t} {4 , Delta x}} left (A_ {i + 1} ^ {n} u_ { i + 1} ^ {n + 1} right) [6pt] = {} & u_ {i} ^ {n} - { frac {1} {2}} { frac { Delta t} { Дельта x}} влево (E_ {i + 1} ^ {n} -E_ {i-1} ^ {n} right) + { frac { Delta t} {4 , Delta x}} left (A_ {i + 1} ^ {n} u_ {i + 1} ^ {n} -A_ {i-1} ^ {n} u_ {i-1} ^ {n} right) end {выровнено }}}$

Полученная система линейных уравнений может быть решена с использованием модифицированной алгоритм трехдиагональной матрицы, также известный как алгоритм Томаса.^[4]

Срок рассеивания

В условиях ударной волны требуется диссипативный член для нелинейные гиперболические уравнения как это. Это делается для того, чтобы держать решение под контролем и поддерживать сходимость решения.

${ displaystyle D = - varepsilon _ {e} (u_ {i + 2} ^ {n} -4u_ {i + 1} ^ {n} + 6u_ {i} ^ {n} -4u_ {i-1} ^ {n} + u_ {i-2} ^ {n})}$

Этот термин явно добавлен на уровне ${ displaystyle n}$ с правой стороны. Это всегда используется для успешных вычислений, когда наблюдаются частые колебания, которые необходимо подавить.

Срок сглаживания

Если требуется только устойчивое решение, то в уравнении в правой части второго порядка срок сглаживания добавляется на неявном слое. Другой член в том же уравнении может быть второго порядка, потому что он не влияет на устойчивое решение, если

${ Displaystyle набла ^ {п} (U) = 0}$

Добавление сглаживания увеличивает количество необходимых шагов на три.

Характеристики

Эта схема создается путем комбинирования формулы трапеции, линеаризации, факторизации, пространственного разложения Падта, свойства однородности векторов потока (где применимо) и гибридного пространственного дифференцирования и наиболее подходит для нелинейных систем в форме закона сохранения. Алгоритм ADI сохраняет порядок точности и свойство установившегося состояния при уменьшении пропускной способности системы уравнений.^[5]Устойчивость уравнения равна

${ displaystyle L ^ {2}}$-стабильно под КЛЛ: ${ Displaystyle | а | , Delta t leq 2 , Delta x}$

Порядок ошибки усечения:

${ Displaystyle О (( Delta t) ^ {2} + ( Delta x) ^ {2})}$

Результат плавный, со значительным перерегулированием (которое не сильно увеличивается со временем).

Рекомендации