WikiDer > Бельтрами поток

Beltrami flow

В гидродинамике Бельтрами течет - потоки, в которых вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу. Другими словами, поток Бельтрами - это поток, в котором Ягненок вектор равно нулю. Он назван в честь итальянского математика. Эухенио Бельтрами из-за его вывода Векторное поле Бельтрами, а первые разработки в области гидродинамики были выполнены русским ученым Ипполит С. Громека в 1881 г.[1][2]

Описание

Поскольку вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу, мы можем написать

куда - некоторая скалярная функция. Одним из непосредственных последствий течения Бельтрами является то, что он никогда не может быть плоским или осесимметричным потоком, потому что в этих потоках завихренность всегда перпендикулярна полю скорости. Другое важное следствие станет очевидным, если посмотреть на несжимаемый уравнение завихренности

куда - внешние телесные силы, такие как гравитационное поле, электрическое поле и т. д., и - кинематическая вязкость. С и параллельны, нелинейные члены в приведенном выше уравнении тождественно равны нулю . Таким образом, потоки Бельтрами удовлетворяют линейному уравнению

Когда , компоненты завихренности удовлетворяют простому уравнение теплопроводности.

Тркалянский поток

Виктор Тркал рассмотрели потоки Бельтрами без каких-либо внешних сил в 1919 г.[3] для скалярной функции , т.е.

Введем следующее разделение переменных

то уравнение, которому удовлетворяет становится

Решение Беркера

Ратип Беркер получил решение в декартовых координатах для в 1963 г.,[4]

Обобщенный поток Бельтрами

Обобщенный поток Бельтрами удовлетворяет условию[5]

что менее ограничительно, чем условие Бельтрами . В отличие от нормальных течений Бельтрами, обобщенное течение Бельтрами можно изучать для плоских и осесимметричных течений.

Устойчивые плоские потоки

Для устойчивого обобщенного течения Бельтрами имеем и поскольку он также плоский, мы имеем . Представляем функцию потока

Интеграция дает . Итак, полное решение возможно, если оно удовлетворяет всем следующим трем уравнениям

Рассмотрен частный случай, когда поле течения имеет равномерную завихренность . Ван (1991)[6] дал обобщенное решение как

предполагая линейную функцию для . Подставляя это в уравнение завихренности и вводя разделение переменных с разделительной постоянной приводит к

Решение, полученное для различных вариантов выбора можно интерпретировать по-разному, например, представляет собой поток за равномерной сеткой, представляет собой поток, создаваемый растягивающейся пластиной, представляет собой поток в угол, представляет собой Асимптотический профиль всасывания и Т. Д.

Плоские нестационарные течения

Здесь,

.

Затухающие вихри Тейлора

Г. И. Тейлор дал решение для частного случая, когда , куда постоянная в 1923 году.[7] Он показал, что разлука удовлетворяет уравнению, а также

Тейлор также рассмотрел пример распадающейся системы водоворотов, попеременно вращающихся в противоположных направлениях и расположенных в виде прямоугольного массива.

которое удовлетворяет приведенному выше уравнению с , куда - длина квадрата, образованного вихрем. Следовательно, эта система вихрей распадается как

Установившиеся осесимметричные потоки

Здесь у нас есть . Интеграция дает и три уравнения

Первое уравнение - это Уравнение Хикса. Маррис и Асуани (1977)[8] показал, что единственно возможное решение а остальные уравнения сводятся к

Простым набором решений вышеуказанного уравнения является

представляет собой поток за счет двух противостоящих вращательных потоков на параболической поверхности, представляет собой вращательное течение на плоской стенке, представляет собой эллипсоидальный вихрь потока (частный случай - сферический вихрь Хилла), представляет собой разновидность тороидального вихря и т. д.

Однородный раствор для как показано Беркером[9]

куда являются Функция Бесселя первого рода и Функция Бесселя второго рода соответственно. Частным случаем вышеуказанного решения является Поток Пуазейля для цилиндрической геометрии со скоростями транспирации на стенках. Чиа-Шун Йи нашли решение в 1958 г. Поток Пуазейля в раковину, когда .[10]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Громека И. «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости». Ученые записки Казанского университета (1881 г.): 76–148.
  2. ^ Трусделл, Клиффорд. Кинематика завихренности. Vol. 954. Блумингтон: издательство Индианского университета, 1954.
  3. ^ Тркал В. «Замечание о гидродинамике вязких жидкостей». Cas. Тихоокеанское стандартное время. Матем., Фис, 48 (1919): 302–311.
  4. ^ Беркер, Р. "Интеграция уравнений движения жидкости вязкой несжимаемой жидкости. Handbuch der Physik". (1963). Это решение неверно /
  5. ^ Дразин, Филип Г., и Норман Райли. Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
  6. ^ Wang, C. Y. 1991 Точные решения стационарных уравнений Навье – Стокса, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
  7. ^ Тейлор, Г.И. «LXXV. О распаде вихрей в вязкой жидкости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 46.274 (1923): 671–674.
  8. ^ Маррис, А. В. и М. Г. Асуани. «Об общей невозможности управляемых акси-симметричных движений Навье – Стокса». Архив рациональной механики и анализа 63.2 (1977): 107–153.
  9. ^ Беркер, Р. "Интеграция уравнений движения жидкости вязкой несжимаемой жидкости. Handbuch der Physik". (1963).
  10. ^ Йих, С. С. (1959). Два решения для невязкого вращательного потока с угловыми вихрями. Журнал гидромеханики, 5 (1), 36-40.