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Bessel-Funktionen sind Lösungen der besselse Differentialgleichung. Sie sind nach dem Mathematiker und Astronomen benannt Friedrich Wilhelm Besselder den Vergleich ausgearbeitet hat. Er tat dies, um die Störung zu berechnen, die drei Himmelskörper auf ihre Bahnen ausüben; Vorarbeiten waren von anderen geleistet worden, aber Bessels Gleichung war allgemeingültiger. Bessel-Funktionen werden nach Bessel-Funktionen erster und zweiter Art unterschieden. Die Besselfunktion erster Ordnung ${Anzeigestil a}$ wird notiert als ${displaystyle J_{a}}$, und die der zweiten Art der Ordnung ${Anzeigestil a}$ wenn ${displaystyle Y_{a}}$.

Die Bessel-Gleichung kann jedoch auch verwendet werden, um Lösungen für die Gleichungen von . zu finden Laplace und von Helmholtz, wenn zusätzlich Zylinderkoordinaten werden verwendet. Daher sind Bessel-Funktionen für viele Themen aus der mathematische Physik, wie Fragen zur Wellenausbreitung, statischer Spannung usw. Einige Beispiele sind:

• Elektromagnetische Wellen in einem zylindrischen Wellenleiter
• Wärmeleitung in einem zylindrischen Objekt
• Schwingungsmoden eines dünnen kreisförmigen oder ringförmigen Membran
• Streuprobleme in a Bar.
• Komponentenamplituden bei Frequenzmodulation (FM): siehe Grafik Medien:Bessels.png
• Bestimmung des Grundwasserspiegels bei Entnahmen.

Definition

Besselfunktionen sind Lösungen ${Anzeigestil y(x)}$ der besselse Differentialgleichung:

${displaystyle x^{2}y''(x) xy'(x) (x^{2}-n^{2})y(x)=0}$

Lösungen sind ${Anzeigestil y(x)=J_{a}(x)}$ und ${Anzeigestil y(x)=Y_{a}(x)}$.

Vor dem ${displaystyle aotin mathbb {Z} }$ sein ${displaystyle J_{a}}$ und ${displaystyle J_{-a}}$ linear unabhängig, so dass die allgemeine Lösung gilt:

${displaystyle y(x)=c_{1}J_{a}(x) c_{2}J_{-a}(x)}$

insbesondere ist

${displaystyle Y_{a}(x)={frac {J_{a}(x)cos(api)-J_{-a}(x)}{sin(api)}}}$

Vor dem ${displaystyle a=nin mathbb {Z} }$ ist

${Anzeigestil J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)}$,

also sei ${displaystyle J_{n}}$ und ${displaystyle J_{-n}}$ linear abhängig.

Ist auch

${Anzeigestil Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)}$

in welchem

${displaystyle Y_{n}(x)=lim_{a o n}Y_{a}(x)}$

so sind es auch ${displaystyle Y_{n}}$ und ${displaystyle Y_{-n}}$ linear abhängig. Wohlergehen ${displaystyle J_{n}}$ und ${displaystyle Y_{n}}$ linear unabhängig, so dass in diesem Fall die allgemeine Lösung geschrieben werden kann als

${Anzeigestil y(x)=c_{1}J_{n}(x) c_{2}Y_{n}(x)}$

Die Bessel-Funktionen erster Art sind gegeben durch komplexes Integral:

${displaystyle J_{n}(x)={frac {1}{2{pi }i}}oint _{!!!C}{frac {g(x,z)}{z^{n 1}}} Mathe {d} z}$

mit ${Anzeigestil C}$ eine passende Kontur und ${Anzeigestil g(x,z)}$ das Erzeugungsfunktion gegeben von:

${displaystyle g(x,z)=e^{{frac {x}{2}}(z-{frac {1}{z}})}=sum _{n=-infty }^{infty }J_{ n}(x)z^{n}}$

Eigenschaften der Bessel-Funktion

Die Besselfunktionen erster Art haben die Potenzreihenentwicklung

${displaystyle J_{a}(x)=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{k!,Gamma (ka 1)}}{left({frac { x}{2}}Nacht)}^{2k a}}$,

der mit dem Methode von Frobenius kann abgelenkt werden^[1]

Die Besselfunktionen erfüllen die rekursiven Beziehungen:

${displaystyle J_{n-1}(x) J_{n 1}(x)={frac {2n}{x}}J_{n}(x)}$

${Anzeigestil J_{n-1}(x)-J_{n 1}(x)=2J_{n}'(x)}$

Eine Rechnung zeigt, dass die Bessel-Funktion erster Art und nullter Ordnung gegeben ist durch:

${displaystyle J_{0}(x)={frac {2}{pi }}int _{0}^{1}{frac {cos(xt)}{sqrt {1-t^{2}}}}, Mathe {d} t}$

Wenn wir ${Displaystil J_{0}(x)}$ Plotten erhalten wir folgendes Ergebnis:

${Displaystil J_{0}(x)}$ im Ursprung seine maximale Amplitude erreicht. Wie ${Anzeigestil x}$ weg vom Ursprung nimmt die Amplitude allmählich ab und verschwindet schließlich ins Unendliche (${displaystyle x o infty }$, ${displaystyle x o -infty }$).

Siehe die Kategorie Animationen von Trommelvibrationen von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.