WikiDer > Бета-простое распределение

Бета-прайм

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle alpha> 0}$ форма (настоящий) ${ displaystyle beta> 0}$ форма (реальная)
Поддерживать	${ Displaystyle х в [0, infty) !}$
PDF	${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ { alpha -1} (1 + x) ^ {- alpha - beta}} {B ( alpha, beta)}} !}$
CDF	${ Displaystyle I _ {{ гидроразрыва {х} {1 + х}} ( альфа, бета)}}$ куда ${ Displaystyle I_ {х} ( альфа, бета)}$ это неполная бета-функция
Иметь в виду	${ displaystyle { frac { alpha} { beta -1}} { text {if}} beta> 1}$
Режим	${ displaystyle { frac { alpha -1} { beta +1}} { text {if}} alpha geq 1 { text {, 0 в противном случае}} !}$
Дисперсия	${ displaystyle { frac { alpha ( alpha + beta -1)} {( beta -2) ( beta -1) ^ {2}}} { text {if}} beta> 2}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {2 (2 alpha + beta -1)} { beta -3}} { sqrt { frac { beta -2} { alpha ( alpha + beta -1) }}} { text {if}} beta> 3}$
MGF	${ displaystyle { frac {e ^ {- t} Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( beta)}} G_ {1,2} ^ {, 2,0} ! left ( left. { begin {matrix} alpha + beta beta, 0 end {matrix}} ; right | , - t right)}$

В теория вероятности и статистика, то бета-простое распределение (также известный как инвертированное бета-распределение или же бета-раздача второго рода^[1]) является абсолютно непрерывное распределение вероятностей определены для ${ displaystyle x> 0}$ с двумя параметрами α и β, имея функция плотности вероятности:

${ Displaystyle е (х) = { гидроразрыва {х ^ { альфа -1} (1 + х) ^ {- альфа - бета}} {В ( альфа, бета)}}}$

куда B это Бета-функция.

В кумулятивная функция распределения является

${ Displaystyle F (х; альфа, бета) = I _ { гидроразрыва {х} {1 + х}} влево ( альфа, бета вправо),}$

куда я это регуляризованная неполная бета-функция.

Ожидаемое значение, дисперсия и другие подробности распределения приведены в боковом поле; за ${ displaystyle beta> 4}$, то избыточный эксцесс является

${ Displaystyle гамма _ {2} = 6 { гидроразрыва { альфа ( альфа + бета -1) (5 бета -11) + ( бета -1) ^ {2} ( бета -2) } { alpha ( alpha + beta -1) ( beta -3) ( beta -4)}}.}.$

Хотя связанные бета-распространение это сопряженное предварительное распределение параметра распределения Бернулли, выраженного как вероятность, бета-простое распределение - это сопряженное априорное распределение параметра распределения Бернулли, выраженное в шансы. Распределение Тип Пирсона VI распределение.^[1]

Режим вариации Икс распространяется как ${ Displaystyle бета '( альфа, бета)}$ является ${ displaystyle { hat {X}} = { frac { alpha -1} { beta +1}}}$Это означает ${ displaystyle { frac { alpha} { beta -1}}}$ если ${ displaystyle beta> 1}$ (если ${ displaystyle beta leq 1}$ среднее значение бесконечно, другими словами, оно не имеет четко определенного среднего), а его дисперсия равна ${ Displaystyle { гидроразрыва { альфа ( альфа + бета -1)} {( бета -2) ( бета -1) ^ {2}}}}$ если ${ displaystyle beta> 2}$.

За ${ Displaystyle - альфа <к < бета}$, то k-й момент ${ displaystyle E [X ^ {k}]}$ дан кем-то

${ displaystyle E [X ^ {k}] = { frac {B ( alpha + k, beta -k)} {B ( alpha, beta)}}.}.$

За ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$ с ${ Displaystyle к < бета,}$ это упрощает

${ displaystyle E [X ^ {k}] = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac { alpha + i-1} { beta -i}}.}$

Cdf также можно записать как

${ displaystyle { frac {x ^ { alpha} cdot {} _ {2} F_ {1} ( alpha, alpha + beta, alpha + 1, -x)} { alpha cdot B ( альфа, бета)}}}$

куда ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ - гипергеометрическая функция Гаусса ₂F₁ .

Обобщение

Можно добавить еще два параметра для формирования обобщенное бета-простое распределение.

• ${ displaystyle p> 0}$ форма (настоящий)
• ${ displaystyle q> 0}$ шкала (настоящий)

имея функция плотности вероятности:

${ displaystyle f (x; alpha, beta, p, q) = { frac {p left ({ frac {x} {q}} right) ^ { alpha p-1} left ( 1+ left ({ frac {x} {q}} right) ^ {p} right) ^ {- alpha - beta}} {qB ( alpha, beta)}}}$

с иметь в виду

${ displaystyle { frac {q Gamma left ( alpha + { tfrac {1} {p}} right) Gamma ( beta - { tfrac {1} {p}})} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} quad { text {if}} beta p> 1}$

и Режим

${ displaystyle q left ({ frac { alpha p-1} { beta p + 1}} right) ^ { tfrac {1} {p}} quad { text {if}} alpha p geq 1}$

Обратите внимание, что если п = q = 1, то обобщенное бета-простое распределение сводится к стандартное бета-простое распределение

Составное гамма-распределение

В составное гамма-распределение^[2] является обобщением бета-простого числа, когда параметр масштаба, q добавлено, но где п = 1. Он назван так потому, что образован компаундирование два гамма-распределения:

${ Displaystyle бета '(х; альфа, бета, 1, q) = int _ {0} ^ { infty} G (х; альфа, г) G (г; бета, q) ; dr}$

куда грамм(Икс;а,б) - гамма-распределение формы а и обратная шкала б. Это соотношение можно использовать для генерации случайных величин с составным гамма-распределением или бета-простым распределением.

Режим, среднее значение и дисперсию составной гаммы можно получить, умножив режим и среднее значение в приведенном выше информационном окне на q и дисперсия на q².

Характеристики

• Если ${ Displaystyle Х сим бета '( альфа, бета)}$ тогда ${ Displaystyle { tfrac {1} {X}} sim beta '( beta, alpha)}$.
• Если ${ Displaystyle Х сим бета '( альфа, бета, р, q)}$ тогда ${ Displaystyle кХ сим бета '( альфа, бета, р, kq)}$.
• ${ Displaystyle бета '( альфа, бета, 1,1) = бета' ( альфа, бета)}$
• Если ${ Displaystyle X_ {1} sim beta '( alpha, beta)}$ и ${ Displaystyle X_ {2} sim beta '( alpha, beta)}$ две переменные iid, затем ${ Displaystyle Y = X_ {1} + X_ {2} sim beta '( gamma, delta)}$ с ${ displaystyle gamma = { frac {2 alpha ( alpha + beta ^ {2} -2 beta +2 alpha beta -4 alpha +1)} {( beta -1) ( альфа + бета -1)}}}$ и ${ displaystyle delta = { frac {2 alpha + beta ^ {2} - beta +2 alpha beta -4 alpha} { alpha + beta -1}}}$, поскольку бета-простое распределение бесконечно делимо.
• В общем, пусть ${ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n} n}$ iid переменных, следующих одному и тому же бета-распределению, т. е. ${ displaystyle forall i, 1 leq i leq n, X_ {i} sim beta '( alpha, beta)}$, то сумма ${ Displaystyle S = X_ {1} + ... + X_ {n} sim beta '( gamma, delta)}$ с ${ Displaystyle гамма = { гидроразрыва {п альфа ( альфа + бета ^ {2} -2 бета + п альфа бета -2n альфа +1)} {( бета -1) ( альфа + бета -1)}}}$ и ${ displaystyle delta = { frac {2 alpha + beta ^ {2} - beta + n alpha beta -2n alpha} { alpha + beta -1}}}$.

Связанные дистрибутивы и свойства

• Если ${ Displaystyle Х сим F (2 альфа, 2 бета)}$ имеет F-распределение, тогда ${ displaystyle { tfrac { alpha} { beta}} X sim beta '( alpha, beta)}$, или эквивалентно, ${ displaystyle X sim beta '( alpha, beta, 1, { tfrac { beta} { alpha}})}$.
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Beta}} ( alpha, beta)}$ тогда ${ displaystyle { frac {X} {1-X}} sim beta '( alpha, beta)}$.
• Если ${ Displaystyle Х сим Гамма ( альфа, 1)}$ и ${ Displaystyle Y sim Gamma ( beta, 1)}$ независимы, то ${ displaystyle { frac {X} {Y}} sim beta '( alpha, beta)}$.
• Параметризация 1: Если ${ Displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, theta _ {k})}$ независимы, то ${ Displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { tfrac { theta _ {1 }} { theta _ {2}}})}$.
• Параметризация 2: Если ${ displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, beta _ {k})}$ независимы, то ${ Displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { tfrac { beta _ {2 }} { beta _ {1}}})}$.
• ${ displaystyle beta '(p, 1, a, b) = { textrm {Dagum}} (p, a, b)}$ то Распределение Dagum
• ${ displaystyle beta '(1, p, a, b) = { textrm {SinghMaddala}} (p, a, b)}$ то Распределение Сингха-Маддалы.
• ${ displaystyle beta '(1,1, gamma, sigma) = { textrm {LL}} ( gamma, sigma)}$ то логистическое распределение.
• Бета-простое распределение является частным случаем типа 6 Распределение Пирсона.
• Если Икс имеет Распределение Парето с минимумом ${ displaystyle x_ {m}}$ и параметр формы ${ displaystyle alpha}$, тогда ${ displaystyle X-x_ {m} sim beta ^ { prime} (1, alpha)}$.
• Если Икс имеет Распределение Lomax, также известное как распределение Парето типа II, с параметром формы ${ displaystyle alpha}$ и масштабный параметр ${ displaystyle lambda}$, тогда ${ displaystyle { frac {X} { lambda}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)}$.
• Если Икс имеет стандарт Распределение Парето типа IV с параметром формы ${ displaystyle alpha}$ и параметр неравенства ${ displaystyle gamma}$, тогда ${ Displaystyle X ^ { гидроразрыва {1} { gamma}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)}$, или эквивалентно, ${ displaystyle X sim beta ^ { prime} (1, alpha, { tfrac {1} { gamma}}, 1)}$.
• В обратное распределение Дирихле является обобщением бета-простого распределения.

Примечания

Рекомендации

• Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание), Wiley. ISBN 0-471-58494-0
• Статья MathWorld