WikiDer > Решетка Бете - Википедия

Решетка Бете с координационным числом z = 3

А Решетка Бете, представлен Ганс Бете в 1935 году - бесконечный связный безцикловый граф где все вершины имеют одинаковую валентность. Т.е. каждый узел подключен к z соседи; z называется координационный номер. С одним узлом, выбранным в качестве корневого, все остальные узлы расположены в виде оболочек вокруг этого корневого узла, который затем также называется началом решетки. Количество узлов в k-я оболочка задается

${ displaystyle , N_ {k} = z (z-1) ^ {k-1} { text {for}} k> 0.}$

(Обратите внимание, что решетка Бете на самом деле неукорененный дерево, поскольку любая вершина будет одинаково хорошо служить корнем.)

В некоторых ситуациях определение изменяется, чтобы указать, что корневой узел имеет z - 1 соседи.^{[нужна цитата]}

Благодаря своей отличительной топологической структуре статистическая механика из решетчатые модели на этом графе часто точно решаются. Решения относятся к часто используемым Приближение Бете для этих систем.

Связь с графами Кэли и деревьями Кэли

Решетка Бете, где каждый узел соединен с 2п другие по сути Граф Кэли из свободная группа на п генераторы. Это бесконечное дерево Кэли.

Презентация группы грамм к п генераторы соответствует сюръективный карта из бесплатной группы на п генераторы в группу ГРАММ, а на уровне графов Кэли - в отображение решетки Бете (с выделенным корнем, соответствующим единице) в граф Кэли. Это также можно интерпретировать (в алгебраическая топология) как универсальный чехол графа Кэли, который, вообще говоря, односвязный.

Решетка Бете определяется ее координационным числом. Это некорневое дерево, поскольку все вершины идентичны, с z соседи. У него также нет поверхности, поскольку он простирается до бесконечности. С другой стороны, дерево Кэли имеет корень и весьма значительную поверхность.

Корень дерева Кэли, как и все его узлы, кроме листьев, имеет валентность. z (листья имеют валентность 1). У бесконечного дерева Кэли нет листьев, поэтому все его узлы имеют валентность. z. Определить возможность подключения узла как количество связанных с ним ребер. Поскольку нет собственных ребер и не более одного ребра, соединяющего любые два узла, это то же самое, что и количество различных узлов, с которыми оно соединено ребром. Таким образом, для (конечного) дерева Кэли средняя связность c узла такая же, как и его средняя степень, т.е.

${ displaystyle , c = { frac {2E} {V}} = { frac {2 (V-1)} {V}} = 2 - { frac {2} {V}};}$

тогда как средняя связность решетки Бете (бесконечное дерево Кэли) просто z.

Решетки в группах Ли

Решетки Бете также встречаются как дискретные подгруппы некоторых гиперболических Группы Ли, такой как Фуксовы группы. По сути, они также являются решетками в смысле решетка в группе Ли.

Смотрите также

• Кристалл

Рекомендации

• Бете, Х.А. (1935). «Статистическая теория сверхрешеток». Proc. Рой. Soc. Лондон. А. 150: 552–575. Bibcode:1935RSPSA.150..552B. Дои:10.1098 / rspa.1935.0122. Zbl 0012.04501.
• Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решаемые модели в статистической механике. Академическая пресса. ISBN 0-12-083182-1. Zbl 0538.60093.
• Остилли, М. (2012). «Деревья Кэли и решетки Бете, краткий анализ для математиков и физиков». Physica A. 391: 3417. arXiv:1109.6725. Bibcode:2012PhyA..391.3417O. Дои:10.1016 / j.physa.2012.01.038.