WikiDer > Бикли Джет - Википедия

В динамика жидкостей, Бикли Джет является устойчивой двумерной ламинарной плоскостью струя с большой струей Число Рейнольдса выходящий в покоящуюся жидкость, названный в честь У. Г. Бикли, который дал аналитическое решение в 1937 г.,^[1] к проблеме, полученной Schlichting в 1933 г.^[2] а соответствующая задача в осесимметричных координатах называется Струя Schlichting. Решение справедливо только для расстояний, удаленных от источника струи.

Описание потока^[3][4]

Рассмотрим устойчивую плоскость, выходящую в ту же самую жидкость, тип погруженных струй из узкой щели, которая должна быть очень маленькой (такая, что жидкость теряет память о форме и размере щели вдали от источника, он помнит только чистый поток импульса). Пусть скорость будет ${ Displaystyle (и, v)}$ в декартовой координате, а ось струи - ${ displaystyle x}$ ось с началом в отверстии. Течение автомодельно для больших Число Рейнольдса (струя такая тонкая, что ${ Displaystyle и (х, у)}$ изменяется гораздо быстрее в поперечном ${ displaystyle y}$ направление, чем продольное ${ displaystyle x}$ направление) и может быть аппроксимировано пограничный слой уравнения.

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} & = 0, u { frac { частичный u} { partial x}} + v { frac { partial u} { partial y}} & = nu { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}} }, end {align}}}$

куда ${ displaystyle nu}$ это кинематическая вязкость и давление везде равно внешнему давлению жидкости, так как жидкость находится в состоянии покоя далеко от центра струи.

${ displaystyle u rightarrow 0}$ в качестве ${ displaystyle y rightarrow pm infty}$,

и поскольку поток симметричен относительно ${ displaystyle x}$ ось

${ displaystyle v = 0}$ в ${ displaystyle y = 0}$,

а также поскольку нет твердой границы и давление постоянно, поток импульса ${ displaystyle M}$ через любую плоскость, нормальную к ${ displaystyle x}$ ось должна быть такой же

${ displaystyle M = 2 rho int _ {0} ^ { infty} u ^ {2} , dy}$

постоянная, где ${ displaystyle rho}$ которая также постоянна для несжимаемого потока.

Доказательство постоянного потока осевого импульса

Условие постоянного потока количества движения может быть получено путем интегрирования уравнения количества движения поперек струи.

${ displaystyle { begin {align} & int _ {- infty} ^ { infty} u { frac { partial u} { partial x}} , dy + int _ {- infty} ^ { infty} v { frac { partial u} { partial y}} , dy = left [ nu { frac { partial u} { partial y}} right] _ {- infty } ^ { infty}, [10pt] & { frac {d} {dx}} int _ {- infty} ^ { infty} u ^ {2} , dy = 0, quad Стрелка вправо quad int _ {0} ^ { infty} u ^ {2} , dy = { text {constant}}. End {выравнивается}}}$

куда ${ Displaystyle v partial u / partial y = partial (uv) / partial y-u partial v / partial y = partial (uv) / partial y + u partial u / partial x}$ используется для упрощения приведенного выше уравнения. Поток массы ${ displaystyle Q}$ через любое поперечное сечение перпендикулярно ${ displaystyle x}$ ось не является постоянной, потому что происходит медленное увлечение внешней жидкостью в струю, и это часть решения пограничного слоя. В этом легко убедиться, интегрировав уравнение неразрывности через пограничный слой.

${ displaystyle { begin {align} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { partial u} { partial x}} , dy + int _ {- infty} ^ { infty} { frac { partial v} { partial y}} , dy & = 0, [8pt] { frac {d} {dx}} int _ {- infty} ^ { infty} u , dy = - { Big [} v { Big]} _ {- infty} ^ { infty} & = - 2v (x, infty). end {align}}}$

где условие симметрии ${ Displaystyle v (х, - infty) = - v (х, infty)}$ используется.

Автомодельное решение^[5][6][7]

Автомодельное решение получается путем введения преобразования

${ displaystyle eta = { frac {y} {x ^ {2/3}}}, quad u = { frac {6 nu} {x ^ {1/3}}} F '( eta ), quad v = { frac {2 nu} {x ^ {2/3}}} (2 eta F '( eta) -F ( eta))}$

уравнение сводится к

${ displaystyle F '' '+ 2FF' '+ 2F' ^ {2} = 0,}$

а граничные условия становятся

${ Displaystyle F '( pm infty) = 0, quad F (0) = 0, quad M = 72 nu ^ {2} rho int _ {0} ^ { infty} F' ^ {2} , d eta.}$

Точное решение дается

${ Displaystyle F ( eta) = альфа tanh alpha eta}$

куда ${ displaystyle alpha}$ решается из следующего уравнения

${ Displaystyle M = 72 nu ^ {2} rho int _ {0} ^ { infty} operatorname {sech} ^ {4} eta , d eta = 48 nu ^ {2} rho alpha ^ {3}, quad Rightarrow quad alpha = left ({ frac {M} {48 nu ^ {2} rho}} right) ^ {1/3}.}$

Сдача

${ displaystyle xi = alpha eta = 0,2752 left ({ frac {M} { nu ^ {2} rho}} right) ^ {1/3} { frac {y} {x ^ {2/3}}},}$

скорость определяется выражением

${ displaystyle { begin {align} u & = 0,4543 left ({ frac {M ^ {2}} { nu rho ^ {2} x}} right) ^ {1/3} operatorname {sech } ^ {2} xi, v & = 0.5503 left ({ frac {M nu} { rho x ^ {2}}} right) ^ {1/3} (2 xi operatorname { sech} ^ {2} xi - tanh xi). end {выравнивается}}}$

Массовый расход ${ displaystyle Q}$ через самолет на расстоянии ${ displaystyle x}$ от отверстия по нормали к жиклеру

${ displaystyle Q = 2 rho int _ {0} ^ { infty} u , dy = 3.3019 (M nu ^ {2} rho x) ^ {1/3}.}$

Смотрите также

• Джет Ландау – Сквайра

Рекомендации