WikiDer > Битангенсы квартики

Bitangents of a quartic
Кривая Тротта и семь ее касательных. Остальные симметричны относительно поворота на 90 ° через начало координат.
Кривая Тротта со всеми 28 касательными к битам.

В теории алгебраических плоские кривые, генерал плоская кривая четвертой степени имеет 28 битангентный линии, касательные к кривой в двух местах. Эти строки существуют в комплексная проективная плоскость, но можно определить кривые четвертой степени, для которых все 28 из этих линий имеют действительные числа как их координаты и поэтому принадлежат Евклидова плоскость.

Явная квартика с двадцатью восемью действительными битангенсами была впервые дана Plücker (1839)[1] Как показал Плюккер, число реальных битангенсов любой квартики должно быть 28, 16 или числом меньше 9. Другая квартика с 28 действительными битангенсами может быть образована локус центров эллипсы с фиксированной длиной оси, касательной к двум непараллельным прямым.[2]Шиода (1995) дал другую конструкцию квартики с двадцатью восемью битангенциями, образованную проекцией кубическая поверхность; двадцать семь битангенсов к кривой Шиоды реальны, а двадцать восьмая - линия на бесконечности в проективной плоскости.

Пример

В Кривая Тротта, другая кривая с 28 действительными касательными к битам, представляет собой набор точек (Икс,у) удовлетворяющие степень четыре многочлен уравнение

Эти точки образуют неособую кривую четвертой степени, которая имеет род три и двадцать восемь настоящих битангенты.[3]

Подобно примерам Плюккера, Блюма и Гинанда, кривая Тротта имеет четыре разделенных овала, максимальное число для кривой четвертой степени, и, следовательно, является М-кривая. Четыре овала можно сгруппировать в шесть разных пар овалов; для каждой пары овалов есть четыре касательных к обоим овалам в паре, два, которые разделяют два овала, и два, которые не касаются друг друга. Кроме того, каждый овал ограничивает невыпуклую область плоскости и имеет один касательный к биту, охватывающий невыпуклую часть его границы.

Связи с другими структурами

В двойная кривая к кривой квартики имеет 28 реальных обычных двойных точек, двойственных к 28 касательным к битам прямой кривой.

28 битаангенсов квартики также могут быть помещены в соответствие с символами формы

куда а, б, c, d, е и ж все равны нулю или единице и где

объявление + быть + ср = 1 (мод 2).[4]

Есть 64 варианта для а, б, c, d, е и ж, но только 28 из этих вариантов дают нечетную сумму. Можно также интерпретировать а, б, и c как однородные координаты точки Самолет Фано и d, е, и ж как координаты прямой в той же конечной проективной плоскости; условие нечетности суммы эквивалентно требованию, чтобы точка и линия не касались друг друга, и существует 28 различных пар точки и линии, которые не соприкасаются.

Точки и линии плоскости Фано, которые не пересекаются с парой непадающих точек и прямых, образуют треугольник, и битангенсы квартики рассматриваются как соответствующие 28 треугольникам плоскости Фано.[5] В Граф Леви плоскости Фано - это График Хивуда, в котором треугольники плоскости Фано представлены 6-циклами. 28 6-циклов графа Хивуда, в свою очередь, соответствуют 28 вершинам графа Граф Кокстера.[6]

28-кратные касательные к четверти также соответствуют парам из 56 линий степени-2. поверхность дель Пеццо,[5] и до 28 с лишним тета-характеристики.

27 линий на кубике и 28 касательных к битам на квартике вместе со 120 плоскостями тритангенса канонической шестигранной кривой рода 4 образуют "троица" в смысле Владимир Арнольд, в частности форма Переписка Маккея,[7][8][9] и может быть связан со многими другими объектами, включая E7 и E8, как обсуждалось на троицы.

Примечания

  1. ^ См. Например Серый (1982).
  2. ^ Блюм и Гинанд (1964).
  3. ^ Тротт (1997).
  4. ^ Риман (1876 г.); Кэли (1879).
  5. ^ а б Манивель (2006).
  6. ^ Дейтер, Итало Дж. (2011), «От графа Кокстера к графу Клейна», Журнал теории графов, arXiv:1002.1960, Дои:10.1002 / jgt.20597.
  7. ^ Ле Брюйн, Ливен (17 июня 2008 г.), Троицы Арнольда, заархивировано из оригинал на 2011-04-11
  8. ^ Арнольд 1997, стр. 13 - Арнольд, Владимир, 1997, Toronto Lectures, Лекция 2: Симплектизация, комплексификация и математические троицы, Июнь 1997 г. (последнее обновление - август 1998 г.). TeX, PostScript, PDF
  9. ^ (Маккей и Себбар 2007, п. 11)

Рекомендации