WikiDer > Пространство Бохнера
В математика, Пространства Бохнера являются обобщением концепции Lп пробелы функциям, значения которых лежат в Банахово пространство что не обязательно является пространством R или C действительных или комплексных чисел.
Космос Lп(ИКС) состоит из (классов эквивалентности) всех Измеримый по Бохнеру функции ж со значениями в банаховом пространстве Икс чей норма || f ||Икс лежит в стандарте Lп Космос. Таким образом, если Икс - множество комплексных чисел, это стандартный Лебег Lп Космос.
Практически все стандартные результаты по Lп пространства удерживают и пространства Бохнера; в частности, пространства Бохнера Lп(ИКС) банаховы пространства для .
Фон
Пространства Бохнера названы в честь Польский-Американец математик Саломон Бохнер.
Приложения
Пространства Бохнера часто используются в функциональный анализ подход к изучению уравнения в частных производных которые зависят от времени, например то уравнение теплопроводности: если температура является скалярной функцией времени и пространства, можно записать сделать ж семья f (t) (параметризованные временем) функций пространства, возможно, в некотором пространстве Бохнера.
Определение
Учитывая измерить пространство (Т, Σ,μ), а Банахово пространство (Икс, || · ||Икс) и 1 ≤п ≤ + ∞, то Пространство Бохнера Lп(Т; Икс) определяется как Колмогоровский фактор (по равенству почти всюду) пространства всех Измеримый по Бохнеру функции ты : Т → Икс такая, что соответствующая норма конечна:
Другими словами, как это обычно бывает при изучении Lп пространства Lп(Т; Икс) - это пространство классы эквивалентности функций, где две функции определены как эквивалентные, если они равны везде, кроме μ-измерять ноль подмножество Т. Как это обычно бывает при изучении таких пространств, обычно обозначение злоупотребления и говорить о "функции" в Lп(Т; Икс), а не класс эквивалентности (что было бы более технически правильно).
Приложение к теории PDE
Очень часто пространство Т является интервал времени, за которое мы хотим решить какое-либо уравнение в частных производных, и μ будет одномерным Мера Лебега. Идея состоит в том, чтобы рассматривать функцию времени и пространства как совокупность функций пространства, причем этот набор параметризуется временем. Например, при решении уравнения теплопроводности на области Ω в рп и интервал времени [0, Т] ищут решения
с производной по времени
Здесь обозначает Соболев Гильбертово пространство однажды-слабо дифференцируемый функции с первой слабой производной по L² (Ω), которые обращаются в нуль на граница области Ω (в смысле следа, или, что то же самое, являются пределами гладких функций с компактный поддерживать в Ω); обозначает двойное пространство из .
("частная производная"относительно времени т выше на самом деле полная производная, поскольку использование пространств Бохнера снимает пространственную зависимость.)
Смотрите также
Рекомендации
- Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.