WikiDer > Пространство Бохнера

В математика, Пространства Бохнера являются обобщением концепции L^п пробелы функциям, значения которых лежат в Банахово пространство что не обязательно является пространством R или C действительных или комплексных чисел.

Космос L^п(ИКС) состоит из (классов эквивалентности) всех Измеримый по Бохнеру функции ж со значениями в банаховом пространстве Икс чей норма || f ||_Икс лежит в стандарте L^п Космос. Таким образом, если Икс - множество комплексных чисел, это стандартный Лебег L^п Космос.

Практически все стандартные результаты по L^п пространства удерживают и пространства Бохнера; в частности, пространства Бохнера L^п(ИКС) банаховы пространства для ${displaystyle 1leq pleq infty}$.

Фон

Пространства Бохнера названы в честь Польский-Американец математик Саломон Бохнер.

Приложения

Пространства Бохнера часто используются в функциональный анализ подход к изучению уравнения в частных производных которые зависят от времени, например то уравнение теплопроводности: если температура ${displaystyle g (t, x)}$ является скалярной функцией времени и пространства, можно записать ${displaystyle (f (t)) (x): = g (t, x)}$ сделать ж семья f (t) (параметризованные временем) функций пространства, возможно, в некотором пространстве Бохнера.

Определение

Учитывая измерить пространство (Т, Σ,μ), а Банахово пространство (Икс, || · ||_Икс) и 1 ≤п ≤ + ∞, то Пространство Бохнера L^п(Т; Икс) определяется как Колмогоровский фактор (по равенству почти всюду) пространства всех Измеримый по Бохнеру функции ты : Т → Икс такая, что соответствующая норма конечна:

${displaystyle | u | _ {L ^ {p} (T; X)}: = left (int _ {T} | u (t) | _ {X} ^ {p}, mathrm {d} mu (t) ight) ^ {1 / p} <+ infty {mbox {for}} 1leq p$

${displaystyle | u | _ {L ^ {infty} (T; X)}: = mathrm {ess, sup} _ {tin T} | u (t) | _ {X} <+ infty.}$

Другими словами, как это обычно бывает при изучении L^п пространства L^п(Т; Икс) - это пространство классы эквивалентности функций, где две функции определены как эквивалентные, если они равны везде, кроме μ-измерять ноль подмножество Т. Как это обычно бывает при изучении таких пространств, обычно обозначение злоупотребления и говорить о "функции" в L^п(Т; Икс), а не класс эквивалентности (что было бы более технически правильно).

Приложение к теории PDE

Очень часто пространство Т является интервал времени, за которое мы хотим решить какое-либо уравнение в частных производных, и μ будет одномерным Мера Лебега. Идея состоит в том, чтобы рассматривать функцию времени и пространства как совокупность функций пространства, причем этот набор параметризуется временем. Например, при решении уравнения теплопроводности на области Ω в р^п и интервал времени [0, Т] ищут решения

${displaystyle uin L ^ {2} left ([0, T]; H_ {0} ^ {1} (Omega) ight)}$

с производной по времени

${displaystyle {frac {partial u} {partial t}} в L ^ {2} left ([0, T]; H ^ {- 1} (Omega) ight).}$

Здесь ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (Омега)}$ обозначает Соболев Гильбертово пространство однажды-слабо дифференцируемый функции с первой слабой производной по L² (Ω), которые обращаются в нуль на граница области Ω (в смысле следа, или, что то же самое, являются пределами гладких функций с компактный поддерживать в Ω); ${displaystyle H ^ {- 1} (Омега)}$ обозначает двойное пространство из ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (Омега)}$.

("частная производная"относительно времени т выше на самом деле полная производная, поскольку использование пространств Бохнера снимает пространственную зависимость.)

Смотрите также

• Векторозначные функции

Рекомендации

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.