WikiDer > Теорема Бруна – Титчмарша - Википедия

В аналитическая теория чисел, то Теорема Бруна – Титчмарша., названный в честь Вигго Брун и Эдвард Чарльз Титчмарш, является верхняя граница по распределению простые числа в арифметической прогрессии.

Заявление

Позволять ${ Displaystyle пи (х; д, а)}$ посчитать количество простых чисел п соответствует а по модулюq с участием п ≤ Икс. потом

${ displaystyle pi (x; q, a) leq {2x over varphi (q) log (x / q)}}$

для всех q < Икс.

История

Результат был подтвержден ситовые методы Монтгомери и Воган; более ранний результат Бруна и Титчмарша получил более слабую версию этого неравенства с дополнительным мультипликативным множителем ${ Displaystyle 1 + о (1)}$.

Улучшения

Если q относительно невелик, например, ${ displaystyle q leq x ^ {9/20}}$, то существует более точная оценка:

${ displaystyle pi (x; q, a) leq {(2 + o (1)) x over varphi (q) log (x / q ^ {3/8})}}$

Это связано с Ю. Мотохаши (1973). Он использовал билинейную структуру в члене ошибки в Сито Сельберга, обнаружил сам. Позже эта идея использования структур в ошибках просеивания превратилась в один из основных методов аналитической теории чисел из-за Х. Иванецрасширение до комбинаторного сита.

Сравнение с теоремой Дирихле

Напротив, Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях дает асимптотический результат, который можно выразить в виде

${ displaystyle pi (x; q, a) = { frac {x} { varphi (q) log (x)}} left ({1 + O left ({ frac {1} { log x}} right)} right)}$

но это можно доказать только для более ограниченного диапазона q <(журналИкс)^c для постоянного c: это Теорема Зигеля – Вальфиша.

Рекомендации

• Мотохаши, Йоичи (1983), Ситовые методы и теория простых чисел, Tata IFR и Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
• Хули, Кристофер (1976), Приложения ситовых методов к теории чисел, Cambridge University Press, стр. 10, ISBN 0-521-20915-3
• Микава, Х. (2001) [1994], "Теорема Бруна-Титчмарша", Энциклопедия математики, EMS Press
• Монтгомери, Х.; Воан, Р. (1973), «Большое решето», Математика, 20 (2): 119–134, Дои:10.1112 / s0025579300004708, HDL:2027.42/152543.