WikiDer > Причинный фильтр

В обработка сигнала, а причинный фильтр это линейный и инвариантный во времени причинная система. Слово причинный указывает, что выход фильтра зависит только от прошлых и настоящих входов. А фильтр чей выход также зависит от будущих входов, не причинный, тогда как фильтр, выход которого зависит Только на будущие ресурсы антипричинный. Системы (включая фильтры), которые осуществимый (т.е. которые работают в реальное время) должны быть причинными, потому что такие системы не могут воздействовать на будущие входные данные. По сути, это означает, что выходной образец наилучшим образом представляет входные данные в данный момент. ${ displaystyle t,}$ выходит чуть позже. Обычная практика проектирования для цифровые фильтры заключается в создании реализуемого фильтра путем сокращения и / или сдвига во времени беспричинной импульсной характеристики. Если сокращение необходимо, оно часто достигается как результат импульсной характеристики с оконная функция.

Примером антипричинного фильтра является максимальная фаза фильтр, который можно определить как стабильный, антипричинный фильтр, инверсия которого также является стабильной и антипричинной.

Каждый компонент вывода каузального фильтра начинается, когда начинается его стимул. Выходы непричинного фильтра начинаются до начала стимула.

пример

Следующее определение - это скользящее (или «скользящее») среднее входных данных. ${ Displaystyle s (х) ,}$. Постоянный коэффициент 1/2 опущен для простоты:

${ Displaystyle е (х) = int _ {x-1} ^ {x + 1} s ( tau) , d tau = int _ {- 1} ^ {+ 1} s (x + тау) , д тау ,}$

где Икс может представлять пространственную координату, как при обработке изображений. Но если ${ Displaystyle х ,}$ представляет время ${ Displaystyle (т) ,}$, то определенная таким образом скользящая средняя равна не причинный (также называемый неосуществимый), потому что ${ Displaystyle е (т) ,}$ зависит от будущих входов, таких как ${ Displaystyle s (т + 1) ,}$. Возможный выход

${ Displaystyle е (т-1) = int _ {- 2} ^ {0} s (t + tau) , d tau = int _ {0} ^ {+ 2} s (t- tau ) , d tau ,}$

что является отложенной версией нереализуемого вывода.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией час(т) назвал его импульсивный ответ. Его вывод - это свертка

${ Displaystyle е (т) = (час * s) (т) = int _ {- infty} ^ { infty} час ( тау) s (т- тау) , д тау. , }$

Таким образом, причинно-следственная связь требует

${ Displaystyle е (т) = int _ {0} ^ { infty} час ( тау) s (т- тау) , д тау}$

и общее равенство этих двух выражений требует час(т) = 0 для всех т < 0.

Характеристика причинных фильтров в частотной области

Позволять час(т) - причинный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье ЧАС(ω). Определите функцию

${ Displaystyle г (т) = {ч (т) + ч ^ {*} (- т) более 2}}$

который не является причинным. С другой стороны, грамм(т) является Эрмитский и, следовательно, его преобразование Фурье г(ω) вещественнозначна. Теперь имеем следующее соотношение

${ Displaystyle час (т) = 2 , тета (т) cdot г (т) ,}$

где Θ (т) это Ступенчатая функция блока Хевисайда.

Это означает, что преобразования Фурье час(т) и грамм(т) связаны следующим образом

${ Displaystyle Н ( омега) = влево ( дельта ( омега) - {я над пи омега} вправо) * G ( omega) = G ( omega) -i cdot { widehat {G}} ( omega) ,}$

где ${ Displaystyle { widehat {G}} ( omega) ,}$ это Преобразование Гильберта выполняется в частотной области (а не во временной). Знак ${ Displaystyle { widehat {G}} ( omega) ,}$ может зависеть от определения преобразования Фурье.

Принятие преобразования Гильберта в приведенном выше уравнении дает следующее соотношение между "H" и его преобразованием Гильберта:

${ displaystyle { widehat {H}} ( omega) = iH ( omega)}$

Рекомендации

• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (сентябрь 2007 г.), Числовые рецепты (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN 9780521880688
• Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинно-следственной связи системы по ее частотной характеристике (PDF), MIT OpenCourseWare