WikiDer > Теория Шоке
В математика, Теория Шоке, названный в честь Гюстав Шоке, это площадь функциональный анализ и выпуклый анализ обеспокоен меры который имеет поддерживать на крайние точки из выпуклый набор C. Грубо говоря, каждый вектор из C должно появиться как средневзвешенное значение экстремальных точек, концепция, уточненная путем обобщения понятия средневзвешенного значения из выпуклое сочетание для интеграл взял на себя набор E крайних точек. Здесь C является подмножеством реальное векторное пространство V, и основная задача теории - рассмотрение случаев, когда V - бесконечномерная (локально выпуклая хаусдорфова) топологическое векторное пространство по аналогии с конечномерным случаем. Главные заботы Гюстава Шоке были в теория потенциала. Теория Шоке стала общей парадигмой, особенно для лечения выпуклые конусы как определено их крайними лучи, и так для многих различных понятий позитивность по математике.
Два конца отрезок определить точки между ними: в векторных терминах отрезок от v к ш состоит из λv + (1 - λ)ш при 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Герман Минковски говорит, что в Евклидово пространство, а ограниченный, закрыто выпуклый набор C это выпуклый корпус множества крайних точек E, так что любой c в C является (конечным) выпуклое сочетание очков е из E. Здесь E может быть конечным или бесконечный набор. В векторных терминах, присвоив неотрицательные веса ш(е) к е в E, почти все 0 мы можем представить любой c в C в качестве
с
В любом случае ш(е) дать вероятностная мера поддерживается на конечном подмножестве E. Для любого аффинная функция ж на C, его значение в точке c является
В условиях бесконечного измерения хотелось бы сделать подобное заявление.
Теорема Шоке заявляет, что для компактный выпуклое подмножество C из нормированное пространство V, данный c в C существует вероятностная мера ш поддерживается на съемочной площадке E крайних точек C такое, что для любой аффинной функции ж на C,
На практике V будет Банахово пространство. Оригинал Теорема Крейна – Мильмана следует из результата Шоке. Еще одно следствие - Теорема Рисса о представлении за состояния о непрерывных функциях на метризуемом компактном хаусдорфовом пространстве.
В более общем плане для V а локально выпуклое топологическое векторное пространство, то Теорема Шоке – Бишопа – де Лиу[1] дает такое же формальное заявление.
В дополнение к существованию вероятностной меры, поддерживаемой на крайней границе, которая представляет данную точку c, можно также учитывать уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не выполняется даже в конечномерном случае. В качестве контрпримеров можно принять выпуклое множество за куб или мяч в р3. Однако единственность сохраняется, когда выпуклое множество конечномерно. симплекс. Конечномерный симплекс - это частный случай Шоке симплекс. Любая точка в симплексе Шоке представляется единственной вероятностной мерой на крайних точках.
Смотрите также
- Теорема Каратеодори
- Лемма Шепли – Фолкмана.
- Теорема Крейна – Мильмана
- Теорема Хелли
- Список тем о выпуклости
Примечания
- ^ Эрретт Бишоп; Карл де Леув. «Представления линейных функционалов мерами на множествах крайних точек». Annales de l'Institut Fourier, 9 (1959), стр. 305–331.
Рекомендации
- Asimow, L .; Эллис, А. Дж. (1980). Теория выпуклости и ее приложения в функциональном анализе. Монографии Лондонского математического общества. 16. Лондон-Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Харкорт Брейс Йованович, Издательство]. С. x + 266. ISBN 0-12-065340-0. МИСТЕР 0623459.
- Бурджин, Ричард Д. (1983). Геометрические аспекты выпуклых множеств со свойством Радона-Никодима. Конспект лекций по математике. 993. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 474. ISBN 3-540-12296-6. МИСТЕР 0704815.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Фелпс, Роберт Р. (2001). Лекции по теореме Шоке. Конспект лекций по математике. 1757 (Второе издание 1966 г.). Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 124. ISBN 3-540-41834-2. МИСТЕР 1835574.CS1 maint: ref = harv (связь)
- «Шоке симплекс», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]