WikiDer > Чау-группа стека

В алгебраической геометрии Чау-группа стека является обобщением Группа чау разнообразия или схемы стеки. Для стек частных ${ Displaystyle X = [Y / G]}$, группа Чау Икс такой же, как грамм-эквивариантная группа Чжоу из Y.

Ключевое отличие от теории групп Чжоу многообразия состоит в том, что циклу разрешено переносить нетривиальные автоморфизмы, и, следовательно, операции теории пересечений должны учитывать это. Например, степень 0-цикла в стеке не обязательно должна быть целым числом, но должна быть рациональным числом (из-за нетривиальных стабилизаторов).

Определения

Анджело Вистоли (1989) развивает основную теорию (в основном над Q) для группы Чау (разделенного) Стек Делин-Мамфорд. В нем группа Чоу определяется точно так же, как в классическом случае: это свободная абелева группа, порожденная целыми замкнутыми подмножествами по модулю рациональной эквивалентности.

Если стек Икс можно записать как стек частных ${ Displaystyle X = [Y / G]}$ для некоторого квазипроективного многообразия Y с линеаризованным действием линейной алгебраической группы грамм, то группа Чау Икс определяется как грамм-эквивариантная группа Чжоу из Y. Этот подход представлен и разработан Дэном Эдидином и Уильямом А. Грэмом, а также Берт Тотаро. Эндрю Крещ (1999) позже распространил теорию на стек, допускающий стратификацию по факторным стекам.

За высшие группы чау (предшественник мотивационные гомологии) алгебраических стеков см. Теорию пересечений Роя Джошуа на стеках: I и II. [1]

Примеры

Расчеты зависят от определений. Таким образом, здесь мы действуем как-то аксиоматично. В частности, мы предполагаем: задан алгебраический стек Икс локально конечного типа над базовым полем k,

1. (гомотопическая инвариантность), если E это звание-п векторный набор на Икс, тогда ${ Displaystyle A_ {p} (E) = A_ {p-n} (X)}$.
2. для каждого целого подстака Z размерности < п, ${ Displaystyle A_ {p} (X-Z) = A_ {p} (X)}$, следствие последовательности локализации.

Эти свойства действительны, если Икс является Делинем-Мамфордом и, как ожидается, будет верным для любой другой разумной теории.

Мы принимаем Икс быть классифицирующим стеком ${ displaystyle BG}$, стек основных грамм-расслоения для гладкой линейной алгебраической группы грамм. По определению, это стек частных ${ displaystyle [* / G]}$, где * рассматривается как стек, связанный с * = Spec k. Приближаем его следующим образом. Учитывая целое число п, выберите представление ${ Displaystyle G в GL (V)}$ так что есть грамм-инвариантное открытое подмножество U из V на котором грамм действует свободно и дополняет ${ Displaystyle Z = V-U}$ имеет коразмерность ${ displaystyle> - operatorname {dim} G-p}$. Позволять ${ displaystyle * times _ {G} V}$ быть частным от ${ displaystyle * times G}$ действием ${ Displaystyle (х, v) cdot g = (xg, g ^ {- 1} v)}$. Обратите внимание, что действие бесплатное, поэтому ${ displaystyle * times _ {G} V}$ является векторным расслоением над ${ displaystyle BG}$. По свойству 1, примененному к этому векторному расслоению,

${ Displaystyle A_ {p} (BG) = A_ {p + dim V} (* times _ {G} V).}$

Тогда, поскольку ${ displaystyle * times _ {G} U = U / G}$, по свойству 2,

${ displaystyle A_ {p + dim V} (* times _ {G} V) ​​= A_ {p + dim V} (U / G)}$

поскольку ${ Displaystyle тусклый [Z / G] = тусклый Z- тусклый G < тусклый V + p}$.

В качестве конкретного примера пусть ${ Displaystyle G = mathbb {G} _ {m}}$ и пусть действует ${ Displaystyle mathbb {А} ^ {п}}$ масштабированием. потом ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ свободно действует на ${ Displaystyle U = mathbb {A} ^ {n} - {0 }}$. По приведенному выше расчету для каждой пары целых чисел п, п такой, что ${ Displaystyle п + р geq 0}$,

${ displaystyle A_ {p} (B mathbb {G} _ {m}) = A_ {p + n} ( mathbb {P} ^ {n-1}).}$

В частности, для каждого целого числа п ≥ 0, ${ displaystyle A_ {p} (B mathbb {G} _ {m}) = 0}$. В целом, ${ Displaystyle A_ {п-к} ( mathbb {P} ^ {n}) = mathbb {Q} h ^ {k}}$ для класса гиперплоскости час, ${ displaystyle h ^ {k}}$ k-кратное самопересечение и ${ displaystyle h ^ {k} = 0}$ для отрицательного k и так

${ displaystyle A_ {p} (B mathbb {G} _ {m}) = mathbb {Q} h ^ {- 1-p}}$

где правая часть не зависит от используемых в расчете моделей (поскольку разные час's соответствуют под прогнозы между проективными пространствами.) ${ displaystyle p = -1 = dim B mathbb {G} _ {m}}$, класс ${ displaystyle h ^ {0} = [ mathbb {P} ^ {n}]}$, любой п, можно рассматривать как фундаментальный класс ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$.

Аналогично имеем

${ displaystyle A ^ {*} (B mathbb {G} _ {m}) = mathbb {Q} [c]}$

куда ${ displaystyle c = c_ {1} (h)}$ первый класс Черна час (и c и час отождествляются при отождествлении групп Чжоу и колец Чжоу проективных пространств). С ${ Displaystyle ч ^ {к} = с cdot ч ^ {к-1}}$у нас есть это ${ displaystyle A _ {*} (B mathbb {G} _ {m})}$ это бесплатно ${ displaystyle mathbb {Q} [c]}$-модуль, созданный ${ displaystyle h ^ {0}}$.

Виртуальный фундаментальный класс

Это понятие берет свое начало в Теория Кураниши в симплектическая геометрия.^[1][2]

В § 2. Беренд (2009), учитывая стек DM Икс и C_Икс то внутренний нормальный конус к ИксК. Беренд определяет виртуальный фундаментальный класс из Икс в качестве

${ displaystyle [X] ^ { text {vir}} = s_ {0} ^ {!} [C_ {X}]}$

куда s₀ - нулевое сечение конуса, определяемое идеальная теория препятствий и s₀^! это уточненный гомоморфизм Гизина определяется так же, как в «Теории пересечения» Фултона. В той же работе показано, что степень этого класса, морально интегрирование по нему, равна взвешенной эйлеровой характеристике Функция Беренда из Икс.

Более поздние (примерно 2017 г.) подходы делают этот тип построения в контексте производная алгебраическая геометрия.^[3]

Смотрите также

• Идеальная теория препятствий
• Инвариант Громова – Виттена.
• Когомологии стека

Примечания

Рекомендации

• Беренд, Кай (2009), "Инварианты типа Дональдсона-Томаса через микролокальную геометрию", Анналы математики, 2-я сер., 170 (3): 1307–1338, arXiv:математика / 0507523, Дои:10.4007 / анналы.2009.170.1307, МИСТЕР 2600874
• Чокан-Фонтанин, Ионух; Капранов, Михаил (2009). «Виртуальные фундаментальные классы через dg – многообразия». Геометрия и топология. 13 (3): 1779–1804. arXiv:математика / 0703214. Дои:10.2140 / gt.2009.13.1779. МИСТЕР 2496057.
• Фантечи, Барбара, Виртуальные откаты на алгебраических стеках (PDF)
• Креш, Эндрю (1999), "Циклические группы для стеков Артина", Inventiones Mathematicae, 138 (3): 495–536, arXiv:математика / 9810166, Bibcode:1999InMat.138..495K, Дои:10.1007 / s002220050351
• Тотаро, Берт (1999), "Кольцо Чжоу классифицирующего пространства, алгебраическая K-теория", Proc. Симпози. Чистая математика, 67, Американское математическое общество, стр. 249–281, МИСТЕР 1743244, Zbl 0967.14005
• Вистоли, Анджело (1989), "Теория пересечений на алгебраических стеках и на их пространствах модулей", Inventiones Mathematicae, 97 (3): 613–670, Bibcode:1989InMat..97..613V, Дои:10.1007 / BF01388892, МИСТЕР 1005008
• Набиджу, Навид (2015), Виртуальные фундаментальные классы по теории Громова-Виттена (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-05-16, получено 2017-07-20
• Шен, Цзюньлян (2014), Построение виртуального фундаментального класса и приложений (PDF)

внешняя ссылка

• Классическое число 2875 прямых на квинтике как DT-инвариант
• В чем основная ошибка в использовании группы Naive Chow в Artin Stack?
• Локальная модель виртуального фундаментального цикла
• https://ncatlab.org/nlab/show/virtual+fundamental+class
• О виртуальном фундаментальном классе - слайд Кая Беренда