WikiDer > Формула Чоула – Сельберга

В математика, то Формула Чоула – Сельберга оценка определенного продукта ценностей Гамма-функция при рациональных ценностях с точки зрения ценностей Функция Дедекинда эта при мнимых квадратичных иррациональных числах. Результат был по существу найден Лерх (1897) и заново открыл Чоула и Сельберг (1949, 1967).

Заявление

В логарифмической форме формула Чоула – Сельберга утверждает, что в некоторых случаях сумма

${ displaystyle { frac {w} {4}} sum _ {r} chi (r) log Gamma left ({ frac {r} {D}} right) = { frac {h } {2}} log (4 pi { sqrt {| D |}}) + sum _ { tau} log left ({ sqrt { Im ( tau)}} | eta ( tau) | ^ {2} right)}$

можно оценить с помощью Формула предела Кронекера. Здесь χ - символ квадратичного вычета по модулю D, куда −D это дискриминант воображаемого квадратичное поле. Сумма берется по 0 < р < D, с обычным соглашением χ (р) = 0, если р и D есть общий фактор. Функция η - это Функция Дедекинда эта, и час - номер класса, а ш это количество корней из единицы.

Происхождение и приложения

Происхождение таких формул теперь видно из теории комплексное умножение, и в частности в теории периодов абелева разновидность CM-типа. Это привело к большому количеству исследований и обобщений. В частности, существует аналог формулы Чоула – Сельберга для p-адические числас участием p-адическая гамма-функция, называется Формула Гросса – Коблица.

Формула Чоула – Сельберга дает формулу для конечного произведения значений эта-функций. Объединив это с теорией комплексное умножение, можно дать формулу для отдельных абсолютных значений функции эта как

${ displaystyle Im ( tau) | eta ( tau) | ^ {4} = { frac { alpha} {4 pi { sqrt {| D |}}}} prod _ {r} Gamma (r / | D |) ^ { chi (r) { frac {w} {2h}}}}$

для некоторого алгебраического числа α.

Примеры

Использование формулы отражения для гамма-функции дает:

• ${ Displaystyle eta (я) = 2 ^ {- 1} pi ^ {- 3/4} Gamma ({ tfrac {1} {4}})}$

Смотрите также

• Теорема умножения

Рекомендации

• Chowla, S .; Сельберг, Атле (1949), "О дзета-функции Эпштейна. I", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 35: 371–374, Дои:10.1073 / pnas.35.7.371, ISSN 0027-8424, JSTOR 88112, МИСТЕР 0030997, ЧВК 1063041, PMID 16588908
• Чоула, Сарвадаман; Сельберг, Атле (1967), "О дзета-функции Эпштейна", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1967 (227): 86–110, Дои:10.1515 / crll.1967.227.86, МИСТЕР 0215797
• Лерх, Матиас (1897), "Sur quelques formules Родственники по именам классов", Bulletin des Sciences Mathématiques, 21: 290–304
• Шаппахер, Норберт (1988), Периоды персонажей Гекке, Конспект лекций по математике, 1301, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0082094, МИСТЕР 0935127