WikiDer > Матрица коэффициентов

В линейная алгебра, а матрица коэффициентов это матрица состоящий из коэффициенты переменных в наборе линейные уравнения. Матрица используется при решении системы линейных уравнений.

Матрица коэффициентов

В общем, система с м линейные уравнения и п неизвестные можно записать как

${displaystyle a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1},}$

${displaystyle a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = b_ {2},}$

${displaystyle quad vdots,}$

${displaystyle a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ {m},}$

куда ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}}$ неизвестные и числа ${displaystyle a_ {11}, a_ {12}, ..., a_ {mn}}$ - коэффициенты системы. Матрица коэффициентов - это м × п матрица с коэффициентом ${displaystyle a_ {ij}}$ как (я, j ) -я запись:^[1]

${displaystyle {egin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} конец {bmatrix}}}$

Тогда приведенная выше система уравнений может быть выражена более кратко как

${displaystyle Ax = b}$

куда А - матрица коэффициентов и б - вектор-столбец постоянных членов.

Связь его свойств со свойствами системы уравнений

Посредством Теорема Руше – Капелли, система уравнений имеет вид непоследовательный, то есть у него нет решений, если классифицировать из расширенная матрица (матрица коэффициентов дополнена дополнительным столбцом, состоящим из вектора б) больше ранга матрицы коэффициентов. Если же, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг р равно числу п переменных. В противном случае общее решение будет иметь п – р бесплатные параметры; следовательно, в таком случае существует бесконечное количество решений, которые могут быть найдены путем наложения произвольных значений на п – р переменных и решение полученной системы для ее единственного решения; различный выбор фиксируемых переменных и разные фиксированные их значения дают разные системные решения.

Динамические уравнения

Первого порядка матричное разностное уравнение с постоянным членом можно записать как

${displaystyle y_ {t + 1} = Ay_ {t} + c,}$

куда А является п × п и у и c находятся п × 1. Эта система сходится к своему стационарному уровню у если и только если то абсолютные значения из всех п собственные значения из А меньше 1.

Первого порядка матричное дифференциальное уравнение с постоянным членом можно записать как

${displaystyle {frac {dy} {dt}} = Ay (t) + c.}$

Эта система устойчива тогда и только тогда, когда все п собственные значения А иметь отрицательный реальные части.

Рекомендации