WikiDer > Неравенство Кона-Фоссенса - Википедия

В дифференциальная геометрия, Неравенство Кон-Фоссена, названный в честь Стефан Кон-Фоссен, связывает интеграл Гауссова кривизна некомпактного поверхность к Эйлерова характеристика. Это похоже на Теорема Гаусса – Бонне для компактный поверхность.

А расходящийся путь в пределах Риманово многообразие - гладкая кривая в многообразии, не содержащаяся ни в каком компактный подмножество многообразия. А полный коллектор тот, в котором каждый расходящийся путь имеет бесконечное длина относительно римановой метрики на многообразии. Неравенство Кон-Фоссена утверждает, что в каждом полном римановом 2-многообразии S с конечным полная кривизна и конечной эйлеровой характеристике имеем^[1]

${ Displaystyle iint _ {S} К , дА Leq 2 пи чи (S),}$

куда K - гауссова кривизна, dA это элемент площади, а χ - эйлерова характеристика.

Примеры

• Если S является компактной поверхностью (без края), то неравенство является равенством по обычной теореме Гаусса – Бонне для компактных многообразий.
• Если S имеет границу, то теорема Гаусса – Бонне дает

${ Displaystyle iint _ {S} K , dA = 2 pi chi (S) - int _ { partial S} k_ {g} , ds}$

куда ${ displaystyle k_ {g}}$ это геодезическая кривизна границы, а ее интеграл - полная кривизна что обязательно положительно для граничной кривой, а неравенство строгое. (Аналогичный результат имеет место, когда граница S кусочно гладкая.)

• Если S это самолет р², то кривизна S равен нулю, и χ(S) = 1, поэтому неравенство строгое: 0 <2π.

Примечания и ссылки

• С. Э. Кон-Фоссен, Некоторые задачи дифференциальной геометрии в целом, Москва (1959).

внешняя ссылка

• Теорема Гаусса – Бонне в Энциклопедия математики, включая краткое изложение неравенства Кона-Фоссена