WikiDer > Операция когомологии

В математике операция когомологии концепция стала центральной для алгебраическая топология, особенно теория гомотопии, начиная с 1950-х годов, в форме простого определения, что если F это функтор определение теория когомологий, то операция когомологии должна быть естественная трансформация из F себе. Во всем было два основных момента:

1. операции можно изучать комбинаторными средствами; и
2. эффект от операций состоит в том, чтобы получить интересный бикоммутант теория.

Источником этих исследований были работы Понтрягина, Постникова и Норман Стинрод, который первым определил Понтрягина площадь, Площадь Постникова, и Площадь Стинрода операции для особые когомологии, в случае коэффициентов mod 2. Комбинаторный аспект здесь возникает как формулировка несостоятельности естественного диагонального отображения при коцепь уровень. Общая теория Алгебра Стинрода операций была приведена в тесную связь с симметричная группа.

в Спектральная последовательность Адамса то бикоммутант аспект подразумевается при использовании Функторы Ext, то производные функторы Hom-функторов; если есть бикоммутантный аспект, взятый над действующей алгеброй Стинрода, он находится только в полученный уровень. Сходимость к группам из теория стабильной гомотопии, информацию о котором трудно найти. Эта связь установила глубокий интерес к операциям когомологий для теория гомотопии, и с тех пор является предметом исследований. An необычная теория когомологий имеет свои собственные операции когомологий, и они могут иметь более богатый набор ограничений.

Формальное определение

А операция когомологии ${ displaystyle theta}$ типа

${ Displaystyle (п, д, пи, G) ,}$

это естественная трансформация функторов

${ displaystyle theta: H ^ {n} (-, pi) to H ^ {q} (-, G) ,}$

определено на Комплексы CW.

Связь с пространствами Эйленберга – Маклейна.

Когомологии комплексов CW есть представимый по Пространство Эйленберга – Маклейна, так что Лемма Йонеды когомологическая операция типа ${ Displaystyle (п, д, пи, G)}$ дается гомотопия класс карт ${ Displaystyle К ( пи, п) к К (G, q)}$. С помощью представимость еще раз, операция когомологий задается элементом ${ Displaystyle Н ^ {д} (К ( пи, п), G)}$.

Символично, позволяя ${ displaystyle [A, B]}$ обозначим множество гомотопических классов отображений из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$,

${ displaystyle { begin {align} displaystyle mathrm {Nat} (H ^ {n} (-, pi), H ^ {q} (-, G)) & = mathrm {Nat} ([- , K ( pi, n)], [-, K (G, q)]) & = [K ( pi, n), K (G, q)] & = H ^ {q} (K ( pi, n); G). End {align}}}$

Смотрите также

• Вторичная операция когомологии

Рекомендации

• Мошер, Роберт Э .; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46664-4, МИСТЕР 0226634
• Стинрод, Н. Э. (1962), Эпштейн, Д. Б. А. (ред.), Когомологические операции, Анналы математических исследований, 50, Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-07924-0, МИСТЕР 0145525