WikiDer > Кольцо когомологий

В математика, конкретно алгебраическая топология, то кольцо когомологий из топологическое пространство Икс это звенеть сформированный из когомология группы Икс вместе с чашка продукта служащая кольцевым умножением. Под когомологиями здесь обычно понимают особые когомологии, но кольцевая структура также присутствует в других теориях, таких как когомологии де Рама. Это также функториальный: для непрерывное отображение пространств получается кольцевой гомоморфизм на кольцах когомологий, что контравариантно.

В частности, учитывая последовательность групп когомологий ЧАС^k(Икс;р) на Икс с коэффициентами в коммутативное кольцо р (обычно р является Z_п, Z, Q, р, или же C) можно определить чашка продукта, который принимает вид

${ displaystyle H ^ {k} (X; R) times H ^ { ell} (X; R) to H ^ {k + ell} (X; R).}$

Произведение чашки дает умножение на прямая сумма групп когомологий

${ displaystyle H ^ { bullet} (X; R) = bigoplus _ {k in mathbb {N}} H ^ {k} (X; R).}$

Это умножение превращается ЧАС^•(Икс;р) в кольцо. Фактически, это естественно N-градуированное кольцо с неотрицательным целым числом k служащая степенью. Продукт чашки соответствует этой классификации.

Кольцо когомологий есть градуированный коммутативный в том смысле, что стаканчик перемещается до знака, определенного оценкой. В частности, для чистых элементов степени k и ℓ; у нас есть

${ displaystyle ( alpha ^ {k} smile beta ^ { ell}) = (- 1) ^ {k ell} ( beta ^ { ell} smile alpha ^ {k}).}$

Числовым инвариантом, полученным из кольца когомологий, является длина чашки, что означает максимальное количество градуированных элементов степени ≥ 1, которые при умножении дают ненулевой результат. Например, сложное проективное пространство имеет длину чашки, равную его сложное измерение.

Примеры

• ${ displaystyle operatorname {H} ^ {*} ( mathbb {R} P ^ {n}; mathbb {F} _ {2}) = mathbb {F} _ {2} [ alpha] / ( альфа ^ {п + 1})}$ куда ${ Displaystyle | альфа | = 1}$.
• ${ displaystyle operatorname {H} ^ {*} ( mathbb {R} P ^ { infty}; mathbb {F} _ {2}) = mathbb {F} _ {2} [ alpha]}$ куда ${ Displaystyle | альфа | = 1}$.
• Посредством Формула Кюннета, кольцо когомологий по модулю 2 декартового произведения п копии ${ Displaystyle mathbb {R} P ^ { infty}}$ кольцо многочленов в п переменные с коэффициентами в ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$.

Смотрите также

• Квантовая когомология

Рекомендации

• Новиков, С. П. (1996). Топология I, Общий обзор. Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.