WikiDer > Комбинаторная геометрия на плоскости

Комбинаторная геометрия на плоскости это книга в дискретная геометрия. Это было переведено из книги на немецком языке, Kombinatorische Geometrie in der Ebene, авторы которого Хьюго Хадвигер и Ханс Дебруннер, опубликованные в Университете Женевы в 1960 году, расширяя обзорную статью 1955 года, которую Хадвигер опубликовал в L'Enseignement mathématique.^[1] Виктор Клее перевел его на английский и добавил главу нового материала. Он был опубликован в 1964 году Холтом, Райнхартом и Уинстоном.^[2] и переиздан в 1966 году Dover Publications.^[3] Русскоязычное издание, Комбинаторная геометрия плоскости, переведенная И. М. Ягломом и включающая в себя изложение нового материала Клее, была опубликована в «Науке» в 1965 году.^[4] Комитет по списку основных библиотек Математическая ассоциация Америки рекомендовал включить его в библиотеки математики бакалавриата.^[3]

Темы

Первая половина книги содержит формулировки почти 100 утверждений дискретной геометрии Евклидова плоскость, а вторая половина делает наброски их доказательств. Добавленная Клее глава, лежащая между двумя половинами, содержит еще 10 предложений, включая некоторые обобщения для более высоких измерений, а книга завершается подробной библиографией по темам.^[5]

Результаты по дискретной геометрии, описанные в этой книге, включают:

• Теорема Каратеодори что каждая точка в выпуклый корпус плоского множества принадлежит треугольнику, определяемому тремя точками множества, и теорема Стейница о том, что каждая точка, находящаяся внутри выпуклой оболочки, является внутренней по отношению к выпуклой оболочке четырех точек множества.^[3]
• В Теорема Эрдеша – Эннинга, что если бесконечный набор точек на плоскости имеет целочисленное расстояние между каждыми двумя точками, то все данные точки должны лежать на одной прямой.^[3]
• Теорема Хелли, что если семья компактный выпуклые множества имеет непустое пересечение для каждой тройки множеств, тогда вся семья имеет непустое пересечение.^[3]
• Хелли-подобное свойство видимости, связанное с Теорема о художественной галерее: если каждые три точки многоугольник видны из некоторой общей точки внутри многоугольника, то есть точка, из которой виден весь многоугольник. В этом случае многоугольник должен быть звездообразный многоугольник.^[1]
• Невозможность укрытия закрытого параллелограмм тремя переведенными копиями его внутренней части и тем фактом, что любое другое компактное выпуклое множество может быть покрыто таким образом.^[1]
• Теорема Юнга, что (для множеств на плоскости) радиус наименьший охватывающий круг самое большее ${ displaystyle 1 / { sqrt {3}}}$ раз больше диаметра. Эта граница жесткая для равносторонний треугольник.^[3]
• Парадоксы разложения множества на более мелкие множества, связанные с Парадокс Банаха – Тарского.^[1]
• Теорема Радона что каждые четыре точки на плоскости можно разбить на два подмножества с пересекающимися выпуклыми оболочками.^[3]
• Лемма Спернера по раскраске триангуляций.^[1]
• В Теорема Сильвестра – Галлаив том виде, что если конечный набор точек на плоскости имеет свойство, заключающееся в том, что каждая прямая, проходящая через две точки, содержит третью точку из набора, то все данные точки должны лежать на одной прямой.^[3]
• Проблема доски Тарскогов том виде, что всякий раз, когда две бесконечные полосы вместе покрывают компактный выпуклый набор, их общая ширина, по крайней мере, равна ширине самой узкой полосы, которая покрывает набор отдельно.^[1][3]
• Если линия покрыта двумя замкнутыми подмножествами, то хотя бы одно из двух подмножеств имеет пары точек на всех возможных расстояниях.^[1]

Он также включает некоторые темы, которые относятся к комбинаторике, но не являются геометрическими по своей сути.^[1] включая:

• Теорема холла о браке характеризуя двудольные графы у которых есть идеальное соответствие.^[3]
• Теорема Рамсея что, если ${ displaystyle k}$-наборам точек из бесконечного множества точек назначается конечное число цветов, тогда бесконечное подмножество имеет ${ displaystyle k}$- пары только одного цвета.^[3]

Аудитория и прием

Книга написана на уровне, подходящем для студентов бакалавриата по математике, и предполагает наличие базовых знаний в области математики. реальный анализ и геометрия бакалавриата.^[6] Одна из целей книги - познакомить учащихся этого уровня с задачами исследовательского уровня по математике, постановка которых легко доступна.^[2]

Рекомендации