WikiDer > Комонотоничность

Comonotonicity

В теория вероятности, комонотонность в основном относится к идеальной положительной зависимости между компонентами случайный вектор, по сути говоря, что они могут быть представлены как возрастающие функции одной случайной величины. В двух измерениях также можно рассматривать идеальную отрицательную зависимость, которая называется контрмонотонностью.

Комонотоничность также связана с комонотонной аддитивностью Интеграл Шоке.[1]

Концепция комонотонности находит применение в управление финансовыми рисками и актуарная наукасм. например Dhaene et al. (2002a) и Dhaene et al. (2002b). В частности, сумма компонентов Икс1 + Икс2 + · · · + Иксп самый рискованный, если совместное распределение вероятностей случайного вектора (Икс1, Икс2, . . . , Иксп) является комонотоническим.[2] Кроме того, α-квантиль суммы равна сумме α-квантилей его компонентов, следовательно, комонотонные случайные величины являются квантильно-аддитивными.[3][4] С практической точки зрения управления рисками это означает, что сокращение отклонений от диверсификации минимально (или в конечном итоге отсутствует).

О расширении комонотонности см. Джоуини и Напп (2004) и Пуччетти и Скарсини (2010).

Определения

Комонотонность подмножеств рп

Подмножество S из рп называется комонотонический[5] (иногда также неубывающий[6]) если для всех (Икс1, Икс2, . . . , Иксп) и (у1, у2, . . . , уп) в S с Икся < уя для некоторых я ∈ {1, 2, . . . , п}, следует, что Иксj ≤ уj для всех j ∈ {1, 2, . . . , п}.

Это значит, что S это полностью заказанный набор.

Комонотонность вероятностных мер на рп

Позволять μ быть вероятностная мера на п-размерный Евклидово пространство рп и разреши F обозначить его многомерный кумулятивная функция распределения, это

Кроме того, пусть F1, . . . , Fп обозначают кумулятивные функции распределения п одномерный маржинальные распределения из μ, это значит

для каждого я ∈ {1, 2, . . . , п}. потом μ называется комонотонический, если

Обратите внимание, что мера вероятности μ комонотоничен тогда и только тогда, когда его поддержка S является комонотоническим согласно приведенному выше определению.[7]

Комонотоничность рп-значные случайные векторы

An рп-значный случайный вектор Икс = (Икс1, . . . , Иксп) называется комонотонический, если его многомерный распространение (в предварительная мера) является комонотоническим, это означает

Характеристики

An рп-значный случайный вектор Икс = (Икс1, . . . , Иксп) является комонотонным тогда и только тогда, когда его можно представить как

где =d означает равенство в распределении, в правой части непрерывный слева обобщенные обратные[8] кумулятивных функций распределения FИкс1, . . . , FИксп, и U это равномерно распределенная случайная величина на единичный интервал. В более общем смысле, случайный вектор является комонотонным тогда и только тогда, когда он согласуется по распределению со случайным вектором, где все компоненты неубывающие функции (или все являются невозрастающими функциями) одной и той же случайной величины.[9]

Верхняя граница

Верхняя граница Фреше – Хёффдинга для кумулятивных функций распределения

Основная статья: Границы связки Фреше – Хёффдинга

Позволять Икс = (Икс1, . . . , Иксп) быть рп-значный случайный вектор. Затем для каждого я ∈ {1, 2, . . . , п},

следовательно

с равенством везде тогда и только тогда, когда (Икс1, . . . , Иксп) является комонотоническим.

Верхняя граница ковариации

Позволять (Икс, Y) - двумерный случайный вектор такой, что ожидаемые значения из Икс, Y и продукт ИксY существует. Позволять (Икс*, Y*) - комонотонный двумерный случайный вектор с такими же одномерными маргинальными распределениями, что и (Икс, Y).[примечание 1] Тогда из Формула Хёффдинга для ковариации[10] и верхняя граница Фреше – Хёффдинга, что

и, соответственно,

с равенством тогда и только тогда, когда (Икс, Y) является комонотоническим.[11]

Отметим, что этот результат обобщает перестановочное неравенство и Неравенство сумм Чебышева.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ (Икс*, Y*) всегда существует, например (FИкс−1(U), FY −1(U)), см. раздел Характеристики над.

Цитаты

  1. ^ (Sriboonchitta et al. 2010 г., стр. 149–152).
  2. ^ (Kaas et al. 2002 г., Теорема 6)
  3. ^ (Kaas et al. 2002 г., Теорема 7)
  4. ^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение 6.15)
  5. ^ (Kaas et al. 2002 г., Определение 1)
  6. ^ Увидеть (Нельсен 2006, Определение 2.5.1) для случая п = 2
  7. ^ Увидеть (Нельсен 2006, Теорема 2.5.4) для случая п = 2
  8. ^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение A.3 (свойства обобщенного обратного))
  9. ^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение 5.16 и его доказательство)
  10. ^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Лемма 5.24)
  11. ^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Теорема 5.25 (2))

использованная литература