WikiDer > Полностью распределительная решетка

В математической области теория порядка, а полностью распределительная решетка это полная решетка в котором произвольно присоединяется раздавать над произвольным встречает.

Формально полная решетка L как говорят полностью распределительный если для любой дважды индексируемой семьи {Икс_j,k | j в J, k в K_j} из L, у нас есть

${displaystyle igwedge _ {jin J} igvee _ {kin K_ {j}} x_ {j, k} = igvee _ {fin F} igwedge _ {jin J} x_ {j, f (j)}}$

где F это набор функции выбора ж выбор для каждого индекса j из J какой-то индекс ж(j) в K_j.^[1]

Полная дистрибутивность является самодуальным свойством, т. Е. дуализация приведенное выше утверждение дает тот же класс полных решеток.^[1]

Без аксиомы выбора ни одна полная решетка с более чем одним элементом не сможет удовлетворить указанное выше свойство, так как можно просто позволить Икс_j,k равняется верхнему элементу L по всем показателям j и k со всеми наборами K_j непустое, но не имеющее функции выбора.^{[нужна цитата]}

Альтернативные характеристики

Существуют различные различные характеристики. Например, ниже приведен эквивалентный закон, исключающий использование функций выбора.^{[нужна цитата]}. Для любого набора S наборов, определим множество S^# быть набором всех подмножеств Икс полной решетки, которые имеют непустое пересечение со всеми членами S. Затем мы можем определить полную дистрибутивность с помощью утверждения

${displaystyle {egin {выравнивается} igwedge {igvee Ymid Yin S} = igvee {igwedge Zmid Zin S ^ {#}} end {выравнивается}}}$

Оператор ( )^# можно назвать оператор поперечной резки. Эта версия полной дистрибутивности подразумевает только исходное понятие, когда допускает Аксиома выбора.

Свойства

Кроме того, известно, что следующие утверждения эквивалентны для любой полной решетки L:^[2]

• L является полностью дистрибутивным.
• L вкладывается в прямое произведение цепей [0,1] с помощью заказать встраивание который сохраняет произвольные встречи и присоединения.
• И то и другое L и его двойственный порядок L^op находятся непрерывные позы.^{[нужна цитата]}

Прямые произведения [0,1], то есть множества всех функций из некоторого множества Икс до [0,1] заказано точечно, также называются кубики.

Бесплатные полностью распределительные решетки

Каждые посеть C может быть завершено в полностью распределительной решетке.

Полностью распределительная решетка L называется бесплатная полностью распределительная решетка над посетом C если и только если есть заказать встраивание ${displaystyle phi: Cightarrow L}$ такая, что для каждой полностью распределительной решетки M и монотонная функция ${displaystyle f: Cightarrow M}$, есть уникальный полный гомоморфизм ${displaystyle f_ {phi} ^ {*}: Lightarrow M}$ удовлетворение ${displaystyle f = f_ {phi} ^ {*} circ phi}$. Для каждого посета C, свободная полностью дистрибутивная решетка над чумом C существует и единственно с точностью до изоморфизма.^[3]

Это пример концепции свободный объект. Поскольку набор Икс можно рассматривать как ч.у. с дискретным порядком, приведенный результат гарантирует существование свободной полностью дистрибутивной решетки над множеством Икс.

Примеры

• В единичный интервал [0,1], упорядоченная естественным образом, является полностью дистрибутивной решеткой.^[4]
  • В общем, любой полная цепочка является полностью дистрибутивной решеткой.^[5]
• В набор мощности решетка ${displaystyle ({mathcal {P}} (X), substeq)}$ для любого набора Икс является полностью дистрибутивной решеткой.^[1]
• Для каждого посета C, Существует свободная полностью дистрибутивная решетка над C.^[3] См. Раздел о Бесплатные полностью распределительные решетки над.

Смотрите также

• Глоссарий теории порядка
• Распределительная решетка

использованная литература