WikiDer > Распределение уверенности - Википедия

В статистические выводы, концепция распределение уверенности (CD) часто вольно называют функцией распределения в пространстве параметров, которая может представлять доверительные интервалы всех уровней для интересующего параметра. Исторически сложилось так, что он обычно строился путем инвертирования верхних пределов нижних боковых доверительных интервалов всех уровней, и он также обычно ассоциировался с реперной точкой.^[1] интерпретация (фидуциальное распределение), хотя это чисто частотная концепция.^[2] Доверительное распределение НЕ является функцией распределения вероятностей интересующего параметра, но все же может быть функцией, полезной для заключения.^[3]

В последние годы наблюдается всплеск интереса к распределению уверенности.^[3] В более поздних разработках концепция распределения уверенности возникла как чисто частотник концепция без какой-либо реперной интерпретации или рассуждений. Концептуально доверительное распределение не отличается от точечный оценщик или интервальный оценщик (доверительный интервал), но он использует зависящую от выборки функцию распределения в пространстве параметров (вместо точки или интервала) для оценки интересующего параметра.

Простым примером доверительного распределения, широко используемым в статистической практике, является бутстрап распределение.^[4] Разработка и интерпретация бутстраповского дистрибутива не требует каких-либо проверочных доводов; то же самое верно и для концепции доверительного распределения. Но понятие доверительного распределения намного шире, чем понятие бутстрап-распределения. В частности, недавние исследования показывают, что он охватывает и объединяет широкий спектр примеров, от обычных параметрических случаев (включая большинство примеров классического развития фидуциального распределения Фишера) до бутстраповских распределений, p-значение функции,^[5] нормализованный функции правдоподобия и, в некоторых случаях, байесовский приоры и байесовский заднее.^[6]

Подобно тому, как байесовское апостериорное распределение содержит массу информации для любого типа Байесовский вывод, доверительное распределение содержит большой объем информации для построения почти всех типов частотных выводов, включая точечные оценки, доверительные интервалы, критические значения, статистическая мощность и p-значения,^[7] среди прочего. Некоторые недавние события высветили многообещающие возможности концепции КР как эффективного инструмента вывода.^[3]

История концепции CD

Нейман (1937)^[8] представил идею «уверенности» в своей основополагающей статье о доверительных интервалах, которая прояснила свойство частотного повторения. По словам Фрейзера,^[9] семя (идею) распределения уверенности можно проследить даже до Байеса (1763 г.)^[10] и Фишер (1930).^[1] Хотя эта фраза, кажется, впервые была использована у Кокса (1958).^[11] Некоторые исследователи рассматривают доверительное распределение как «интерпретацию Неймана фидуциальных распределений Фишера»,^[12] который «яростно оспаривался Фишером».^[13] Также считается, что эти «непродуктивные споры» и «упорная настойчивость» Фишера^[13] может быть причиной того, что концепция распределения уверенности долгое время неверно истолковывалась как базовая концепция и не была полностью развита в рамках частотной структуры.^[6][14] Действительно, доверительное распределение - это чисто частотная концепция с чисто частотной интерпретацией, и она также связана с концепциями байесовского вывода и фидуциальными аргументами.

Определение

Классическое определение

Классически доверительное распределение определяется путем инвертирования верхних пределов ряда нижних доверительных интервалов.^{[15][16][страница нужна]} Особенно,

Для каждого α в (0, 1) пусть (−∞,ξ_п(α)] будет нижним доверительным интервалом 100α% для θ, куда ξ_п(α) = ξ_п(Икс_п, α) непрерывна и увеличивается по α для каждого образца Икс_п. Потом, ЧАС_п(•) = ξ_п⁻¹(•) - доверительное распределение дляθ.

Эфрон заявил, что это распределение «приписывает вероятность 0,05 θ лежащая между верхними конечными точками доверительного интервала 0,90 и 0,95, так далее. »и« у него мощная интуитивная привлекательность ».^[16] В классической литературе^[3] функция доверительного распределения интерпретируется как функция распределения параметра θ, что невозможно, если не задействованы реперные рассуждения, поскольку в частотной настройке параметры фиксированы и не случайны.

Интерпретировать функцию CD полностью с частотной точки зрения и не интерпретировать ее как функцию распределения (фиксированного / неслучайного) параметра - это одно из основных отклонений недавних разработок по сравнению с классическим подходом. Хорошая вещь в том, чтобы рассматривать доверительные распределения как чисто частотную концепцию (похожую на точечную оценку), состоит в том, что теперь она свободна от тех ограничительных, если не спорных, ограничений, установленных Фишером для реперных распределений.^[6][14]

Современное определение

Применяется следующее определение;^[12][17][18] Θ пространство параметров интересующего нас неизвестного параметра θ, и χ пространство выборки, соответствующее данным Икс_п={Икс₁, ..., Икс_п}:

Функция ЧАС_п(•) = ЧАС_п(Икс_п, •) на χ × Θ → [0, 1] называется доверительным распределением (CD) для параметра θ, если он соответствует двум требованиям:

• (R1) Для каждого заданного Икс_п ∈ χ, ЧАС_п(•) = ЧАС_п(Икс_п, •) - непрерывная кумулятивная функция распределения на Θ;
• (R2) При истинном значении параметра θ = θ₀, ЧАС_п(θ₀) ≡ ЧАС_п(Икс_п, θ₀), как функция образца Икс_п, следует равномерному распределению U[0, 1].

Также функция ЧАС является асимптотическим CD (CD), если U[0, 1] требование выполняется только асимптотически, а требование непрерывности ЧАС_п(•) опускается.

С нетехнической точки зрения, доверительное распределение является функцией как параметра, так и случайной выборки с двумя требованиями. Первое требование (R1) просто требует, чтобы компакт-диск был распределением в пространстве параметров. Второе требование (R2) устанавливает ограничение на функцию, чтобы выводы (точечные оценки, доверительные интервалы, проверка гипотез и т. Д.), Основанные на распределении достоверности, имели желаемые частотные свойства. Это аналогично ограничениям в точечной оценке для обеспечения определенных желаемых свойств, таких как объективность, согласованность, эффективность и т. Д.^[6][19]

Доверительное распределение, полученное путем инвертирования верхних пределов доверительных интервалов (классическое определение), также удовлетворяет требованиям приведенного выше определения, и эта версия определения согласуется с классическим определением.^[18]

В отличие от классического реперного вывода, для оценки параметра при любой конкретной настройке может быть доступно более одного доверительного распределения. Кроме того, в отличие от классического фидуциального вывода, оптимальность не является частью требования. В зависимости от настройки и используемого критерия иногда существует уникальное «лучшее» (с точки зрения оптимальности) распределение достоверности. Но иногда нет доступного оптимального распределения достоверности или, в некоторых крайних случаях, мы даже не можем найти значимое распределение достоверности. Это не отличается от практики балльной оценки.

Примеры

Пример 1: Нормальное среднее и дисперсия

Предположим, что нормальный образец Икс_я ~ N(μ, σ²), я = 1, 2, ..., п дано.

(1) Дисперсия σ² известен

Позволять, Φ - кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения, и ${ displaystyle F_ {t_ {n-1}}}$ кумулятивная функция распределения Стьюдента ${ displaystyle t_ {n-1}}$ распределение. Обе функции ${ Displaystyle Н _ { mathit { Phi}} ( му)}$ и ${ Displaystyle Н_ {т} ( му)}$ данный

${ displaystyle H _ { Phi} ( mu) = { mathit { Phi}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})} { sigma}} right), quad { text {and}} quad H_ {t} ( mu) = F_ {t_ {n-1}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})} {s}} right),}$

удовлетворяют двум требованиям в определении CD, и они являются функциями доверительного распределения дляμ.^[3] Более того,

${ displaystyle H_ {A} ( mu) = { mathit { Phi}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})} {s} }верно)}$

удовлетворяет определению асимптотического доверительного распределения, когда п→ ∞, и это асимптотическое доверительное распределение для μ. Использование ${ Displaystyle Н_ {т} ( му)}$ и ${ Displaystyle Н_ {А} ( му)}$ эквивалентны утверждению, что мы используем ${ Displaystyle N ({ bar {X}}, sigma ^ {2})}$ и ${ displaystyle N ({ bar {X}}, s ^ ​​{2})}$ чтобы оценить ${ displaystyle mu}$, соответственно.

(2) Дисперсия σ² неизвестно

Для параметра μ, поскольку ${ Displaystyle Н _ { mathit { Phi}} ( му)}$ включает неизвестный параметр σ и это нарушает два требования в определении CD, это больше не «оценка распределения» или доверительное распределение дляμ.^[3] Тем не мение, ${ Displaystyle Н_ {т} ( му)}$ все еще компакт-диск для μ и ${ Displaystyle Н_ {А} ( му)}$ компакт-диск дляμ.

Для параметра σ², кумулятивная функция распределения, зависящая от выборки

${ displaystyle H _ { chi ^ {2}} ( theta) = 1-F _ { chi _ {n-1} ^ {2}} ((n-1) s ^ {2} / theta)}$

- функция доверительного распределения для σ².^[6] Здесь, ${ displaystyle F _ { chi _ {n-1} ^ {2}}}$ - кумулятивная функция распределения ${ Displaystyle чи _ {п-1} ^ {2}}$ распределение .

В случае, когда дисперсия σ² известен, ${ displaystyle H _ { mathit { Phi}} ( mu) = { mathit { Phi}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}}) )} { sigma}} right)}$ является оптимальным с точки зрения получения кратчайших доверительных интервалов на любом заданном уровне. В случае, когда дисперсия σ² неизвестно, ${ displaystyle H_ {t} ( mu) = F_ {t_ {n-1}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})} {s }}верно)}$ оптимальное доверительное распределение для μ.

Пример 2: двумерная нормальная корреляция

Позволять ρ обозначает коэффициент корреляции из двумерный нормальный численность населения. Хорошо известно, что Фишер z определяется Преобразование фишера:

${ displaystyle z = {1 over 2} ln {1 + r over 1-r}}$

имеет ограничение распространения ${ displaystyle N ({1 over 2} ln {{1+ rho} over {1- rho}}, {1 over n-3})}$ с высокой скоростью сходимости, где р - выборочная корреляция и п размер выборки.

Функция

${ displaystyle H_ {n} ( rho) = 1 - { mathit { Phi}} left ({ sqrt {n-3}} left ({1 over 2} ln {1 + r над 1-r} - {1 over 2} ln {{1+ rho} over {1- rho}} right) right)}$

является асимптотическим доверительным распределением для ρ.^{[нужна цитата]}

Использование доверительных распределений для вывода

Доверительный интервал

Из определения CD очевидно, что интервал ${ displaystyle (- infty, H_ {n} ^ {- 1} (1- alpha)], [H_ {n} ^ {- 1} ( alpha), infty)}$ и ${ displaystyle [H_ {n} ^ {- 1} ( alpha / 2), H_ {n} ^ {- 1} (1- alpha / 2)]}$ предоставить 100 (1 -α)% - доверительные интервалы уровня разного вида, для θ, для любого α ∈ (0, 1). Также ${ displaystyle [H_ {n} ^ {- 1} ( alpha _ {1}), H_ {n} ^ {- 1} (1- alpha _ {2})]}$ уровень 100 (1 -α₁ − α₂)% доверительный интервал для параметра θ для любого α₁ > 0, α₂ > 0 и α₁ + α₂ <1. Здесь ${ Displaystyle Н_ {п} ^ {- 1} ( бета)}$ это 100β% квантиля ${ Displaystyle Н_ {п} ( тета)}$ или это решает для θ в уравнении ${ Displaystyle Н_ {п} ( тета) = бета}$. То же самое верно и для компакт-диска, где уровень достоверности достигается в пределах. Некоторые авторы предложили использовать их для графического просмотра значений параметров, согласующихся с данными, вместо целей охвата или производительности.^[20][21]

Балльная оценка

Точечные оценки также могут быть построены с учетом оценки доверительного распределения для интересующего параметра. Например, учитывая ЧАС_п(θ) компакт-диск для параметра θ, естественный выбор точечных оценок включает медианное значение M_п = ЧАС_п⁻¹(1/2), среднее ${ displaystyle { bar { theta}} _ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} t , mathrm {d} H_ {n} (t)}$, а точка максимума плотности КД

${ displaystyle { widehat { theta}} _ {n} = arg max _ { theta} h_ {n} ( theta), h_ {n} ( theta) = H '_ {n} ( theta).}$

При некоторых скромных условиях, помимо других свойств, можно доказать, что все эти точечные оценки согласованы.^[6][22]

Проверка гипотезы

Можно получить значение p для теста, одностороннего или двустороннего, относительно параметраθ, из его доверительного распределения ЧАС_п(θ).^[6][22] Обозначим вероятностной массой множества C под функцией доверительного распределения ${ displaystyle p_ {s} (C) = H_ {n} (C) = int _ {C} mathrm {d} H ( theta).}$ Этот п_s(C) называется «опорой» в заключении CD, а также известна как «вера» в реперной литературе.^[23] У нас есть

(1) Для одностороннего теста K₀: θ ∈ C против. K₁: θ ∈ C^c, куда C имеет тип (−∞,б] или же [б, ∞), из определения CD можно показать, что sup_θ ∈ Cп_θ(п_s(C) ≤ α) = α. Таким образом, п_s(C) = ЧАС_п(C) - соответствующее p-значение теста.

(2) Для одноэлементного теста K₀: θ = б против. K₁: θ ≠ б, п_{{K0: θ = б}}(2 мин {п_s(C_вот), из определения CD можно показать, что p_s(C_вверх)} ≤ α) = α. Таким образом, 2 мин {п_s(C_вот), п_s(C_вверх)} = 2 мин {ЧАС_п(б), 1 − ЧАС_п(б)} - соответствующее p-значение теста. Здесь, C_вот = (−∞, б] и C_вверх = [б, ∞).

См. Рисунок 1 от Xie and Singh (2011).^[6] для графической иллюстрации вывода компакт-диска.

Реализации

Несколько статистических программ реализовали возможность построения и построения графиков доверительных распределений.

р, через соглашаться,^[24][25] pvalueфункции,^[26] и эпизод^[27] пакеты

Excel, через эпизод^[28]

Stata, через соглашаться^[24]

Смотрите также

• Вероятность покрытия

Рекомендации

Библиография