WikiDer > Конформная сварка

Conformal welding

В математика, конформная сварка (шитье или склейка) - это процесс в геометрическая теория функций для производства Риманова поверхность соединяя вместе две римановы поверхности, каждая с удаленным диском, вдоль их граничных окружностей. Эту задачу можно свести к задаче поиска однолистных голоморфных отображений ж, г единичного круга и его дополнения в расширенную комплексную плоскость, допускающие непрерывные расширения до замыкания своих областей, такие, что изображения являются дополнительными жордановыми областями и такие, что на единичной окружности они отличаются на заданную квазисимметричный гомеоморфизм. Известно несколько доказательств, использующих различные методы, включая Уравнение Бельтрами,[1] то Преобразование Гильберта на окружности[2] и элементарные методы аппроксимации.[3] Шэрон и Мамфорд (2006) описывают первые два метода конформной сварки, а также предоставляют численные расчеты и приложения для анализа форм на плоскости.

Сварка по уравнению Бельтрами

Этот метод был впервые предложен Пфлюгер (1960).

Если ж является диффеоморфизмом окружности, Расширение Александра дает возможность расширить ж к диффеоморфизму единичного круга D:

где ψ - гладкая функция со значениями в [0,1], равными 0 около 0 и 1 около 1, и

с участием г(θ + 2π) = г(θ) + 2π.

Расширение F можно продолжить на любой диск большего размера |z| < р с участием р > 1. Соответственно в аппарате диск

Теперь расширим μ до коэффициента Бельтрами на всей C установив его равным 0 для |z| ≥ 1. Пусть г - соответствующее решение уравнения Бельтрами:

Позволять F1(z) = гF−1(z) для |z| ≤ 1 иF2(z) = г (z) для |z| ≥ 1. Таким образом, F1 и F2 - однолистные голоморфные отображения |z| <1 и |z| > 1 внутри и снаружи жордановой кривой. Они непрерывно продолжаются до гомеоморфизмов жя единичной окружности на жордановую кривую на границе. По построению они удовлетворяютконформная сварка состояние:

Сварка с использованием преобразования Гильберта на окружности

Использование преобразования Гильберта для установления конформной сварки было впервые предложено грузинскими математиками Д.Г. Манджавидзе и Б.В. Хведелидзе в 1958 году. Подробный отчет тогда же дал Ф.Д. Гахова и представил в своей классической монографии (Гахов (1990)).

Позволять еп(θ) = евθ - стандартный ортонормированный базис L2(Т). Пусть H2(Т) быть Харди космос, замкнутое подпространство, натянутое на еп с участием п ≥ 0. Пусть п - ортогональная проекция на пространство Харди и положим Т = 2п - я. Оператор ЧАС = Это это Преобразование Гильберта на окружности и может быть записан как сингулярный интегральный оператор.

Учитывая диффеоморфизм ж единичной окружности, задача состоит в определении двух однолистных голоморфных функций

определено в | z | <1 и | z | > 1 и оба гладко продолжаются на единичную окружность, отображаясь на жордановую область и ее дополнение, так что

Позволять F быть ограничением ж+ к единичному кругу. потом

и

Следовательно

Если V(ж) обозначает ограниченный обратимый оператор на L2 индуцированный диффеоморфизмом ж, то оператор

компактно, действительно, оно задается оператором с гладким ядром, потому что п и Т задаются сингулярными интегральными операторами. Приведенное выше уравнение сводится к

Оператор яKж это Фредгольмов оператор нулевого индекса. Он имеет нулевое ядро ​​и поэтому обратим. Фактически, элемент ядра будет состоять из пары голоморфных функций на D и Dc которые имеют гладкие граничные значения на окружности, связанные соотношением ж. Поскольку голоморфная функция на Dc обращается в нуль на ∞, положительные степени этой пары также дают решения, которые линейно независимы, что противоречит тому, что яKж является фредгольмовым оператором. Таким образом, указанное выше уравнение имеет единственное решение F который гладкий и из которого ж± можно восстановить, выполнив указанные выше действия в обратном порядке. Действительно, глядя на уравнение, которому удовлетворяет логарифм производной от F, это следует из того F не имеет нулевой производной на единичной окружности. более того F взаимно однозначно на круге, так как если он принимает значение а в разных точках z1 и z2 затем логарифм р(z) = (F(z) − а)/(z - z1)(zz2) удовлетворял бы интегральному уравнению, которое, как известно, не имеет ненулевых решений. Учитывая эти свойства на единичной окружности, требуемые свойства ж± затем следуйте из принцип аргумента.[4]

Заметки

использованная литература

  • Пфлюгер, А. (1960), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc., 24: 401–412
  • Lehto, O .; Виртанен, К. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости, Springer-Verlag, стр. 92
  • Лехто, О. (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера, Springer-Verlag, стр. 100–101, ISBN 0-387-96310-3
  • Sharon, E .; Мамфорд, Д. (2006), «Двухмерный анализ с использованием конформного отображения» (PDF), Международный журнал компьютерного зрения, 70: 55–75, Дои:10.1007 / s11263-006-6121-z, заархивировано из оригинал (PDF) на 2012-08-03, получено 2012-07-01
  • Гахов, Ф. Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года, Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
  • Титчмарш, Э. (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 0198533497