WikiDer > Конъюгированная транспозиция - Википедия

В математика, то сопряженный транспонировать (или же Эрмитово транспонирование) из м-к-п матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ с сложный записи, это п-к-м матрица, полученная из ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ взяв транспонировать а затем взяв комплексно сопряженный каждой записи (комплексное сопряжение ${ displaystyle a + ib}$ существование ${ displaystyle a-ib}$, для действительных чисел ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$). Часто обозначается как ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ или же ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {*}}$.^[1][2][3]

Для реальных матриц сопряженное транспонирование - это просто транспонирование, ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}}}$.

Определение

Сопряженное транспонирование ${ Displaystyle м раз п}$ матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ формально определяется как

${ displaystyle left ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} right) _ {ij} = { overline {{ boldsymbol {A}} _ {ji}}}}$

(Уравнение 1)

где нижние индексы обозначают ${ displaystyle (я, j)}$-я запись, для ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ и ${ displaystyle 1 leq j leq m}$, а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.

Это определение также можно записать как^[3]

${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = left ({ overline { boldsymbol {A}}} right) ^ { mathsf {T}} = { overline {{ boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}}}}}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}}}$ обозначает транспонирование и ${ displaystyle { overline { boldsymbol {A}}}}$ обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами.

Другие названия сопряженного транспонирования матрицы: Эрмитово сопряжение, зубчатая матрица, сопряженная матрица или же трансъюгировать. Сопряженное транспонирование матрицы ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ можно обозначить любым из этих символов:

• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {*}}$, обычно используется в линейная алгебра^[3]
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$, обычно используется в линейной алгебре^[1]
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { dagger}}$ (иногда произносится как А кинжал), обычно используемый в квантовая механика
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {+}}$, хотя этот символ чаще используется для обозначения Псевдообратная матрица Мура – ​​Пенроуза

В некоторых случаях ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ {*}}$ обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспонирования.

Пример

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.

${ displaystyle { boldsymbol {A}} = { begin {bmatrix} 1 & -2-i & 5 1 + i & i & 4-2i end {bmatrix}}}$

Сначала транспонируем матрицу:

${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathsf {T}} = { begin {bmatrix} 1 & 1 + i - 2-i & i 5 & 4-2i end {bmatrix}}}$

Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:

${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { begin {bmatrix} 1 & 1-i - 2 + i & -i 5 & 4 + 2i end {bmatrix}}}$

Основные замечания

Квадратная матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ с записями ${ displaystyle a_ {ij}}$ называется

• Эрмитский или же самосопряженный если ${ displaystyle { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$; т.е. ${ displaystyle a_ {ij} = { overline {a_ {ji}}}}$ .
• Косой эрмит или антиэрмитский, если ${ displaystyle { boldsymbol {A}} = - { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$; т.е. ${ displaystyle a_ {ij} = - { overline {a_ {ji}}}}$ .
• Нормальный если ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {A}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$.
• Унитарный если ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}} ^ {- 1}}$, что эквивалентно ${ displaystyle { boldsymbol {A}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {I}}}$, что эквивалентно ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {I}}}$.

Даже если ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ не квадрат, две матрицы ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}}}$ и ${ displaystyle { boldsymbol {A}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ являются одновременно эрмитскими и фактически положительные полуопределенные матрицы.

Сопряженная транспонированная «сопряженная» матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ не следует путать с сопоставлять, ${ displaystyle operatorname {прил} ({ boldsymbol {A}})}$, который также иногда называют прилегающий.

Сопряженное транспонирование матрицы ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ с настоящий записи сводятся к транспонировать из ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, поскольку сопряжение действительного числа - это само число.

Мотивация

Сопряженное транспонирование может быть мотивировано тем, что комплексные числа могут быть удобно представлены вещественными матрицами 2 × 2, подчиняясь сложению и умножению матриц:

${ displaystyle a + ib Equiv { begin {pmatrix} a & -b b & a end {pmatrix}}.}$

То есть обозначая каждый сложный номер z посредством настоящий 2 × 2 матрица линейного преобразования на Диаграмма Аргана (рассматривается как настоящий векторное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$), подверженных сложному z-умножение на ${ Displaystyle mathbb {C}}$.

Таким образом, м-к-п Матрица комплексных чисел может быть хорошо представлена ​​2мна 2п матрица действительных чисел. Следовательно, сопряженное транспонирование возникает очень естественно как результат простого транспонирования такой матрицы - если снова рассматривать его как п-к-м матрица, составленная из комплексных чисел.

Свойства сопряженного транспонирования

• ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} + { boldsymbol {B}}) ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} + { boldsymbol {B }} ^ { mathrm {H}}}$ для любых двух матриц ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ и ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$ таких же размеров.
• ${ displaystyle (z { boldsymbol {A}}) ^ { mathrm {H}} = { overline {z}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ для любого комплексного числа ${ displaystyle z}$ и любой м-к-п матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.
• ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} { boldsymbol {B}}) ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {B}} ^ { mathrm {H}} { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ для любого м-к-п матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ и любой п-к-п матрица ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$. Обратите внимание, что порядок факторов обратный.^[2]
• ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) ^ { mathrm {H}} = { boldsymbol {A}}}$ для любого м-к-п матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, т.е. эрмитова транспозиция - это инволюция.
• Если ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ квадратная матрица, то ${ displaystyle operatorname {det} ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) = { overline { operatorname {det} ({ boldsymbol {A}})}}}$ куда ${ displaystyle operatorname {det} (A)}$ обозначает детерминант из ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ .
• Если ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ квадратная матрица, то ${ displaystyle operatorname {tr} ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) = { overline { operatorname {tr} ({ boldsymbol {A}})}}}$ куда ${ displaystyle operatorname {tr} (A)}$ обозначает след из ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.
• ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ является обратимый если и только если ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ обратима, и в этом случае ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}) ^ {- 1} = ({ boldsymbol {A}} ^ {- 1}) ^ { mathrm {H}}}$.
• В собственные значения из ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ являются комплексно сопряженными собственные значения из ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.
• ${ displaystyle langle { boldsymbol {A}} x, y rangle _ {m} = langle x, { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}} y rangle _ {n}}$ для любого м-к-п матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, любой вектор в ${ Displaystyle х в mathbb {C} ^ {п}}$ и любой вектор ${ Displaystyle у в mathbb {C} ^ {m}}$. Здесь, ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {м}}$ обозначает стандартный комплекс внутренний продукт на ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$, и аналогично для ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {п}}$.

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если кто-либо ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ как линейное преобразование из Гильбертово пространство ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ к ${ displaystyle mathbb {C} ^ {m},}$ тогда матрица ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ^ { mathrm {H}}}$ соответствует сопряженный оператор из ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$. Таким образом, понятие сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц по отношению к ортонормированному базису.

Есть еще одно обобщение: предположим ${ displaystyle A}$ линейная карта из комплекса векторное пространство ${ displaystyle V}$ другому, ${ displaystyle W}$, то комплексно сопряженное линейное отображение так же хорошо как транспонированная линейная карта определены, и поэтому мы можем взять сопряженное транспонирование ${ displaystyle A}$ быть комплексным сопряжением транспонирования ${ displaystyle A}$. Он отображает сопряженное двойной из ${ displaystyle W}$ к сопряженному двойственному ${ displaystyle V}$.

Смотрите также

• Сложный точечный продукт
• Эрмитово сопряженный
• Адъюгированная матрица

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Сопряженная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]