WikiDer > Сжатие (теория операторов)

В теория операторов, а ограниченный оператор Т: Икс → Y между нормированные векторные пространства Икс и Y считается сокращение если это норма оператора ||Т|| ≤ 1. Каждый ограниченный оператор становится сжатием после подходящего масштабирования. Анализ сокращений позволяет понять структуру операторов или семейство операторов. Теория сокращений на Гильбертово пространство во многом из-за Béla Szkefalvi-Nagy и Киприан Фойас.

Сжатия в гильбертовом пространстве

Если Т сжатие, действующее на Гильбертово пространство ${displaystyle {mathcal {H}}}$, следующие основные объекты, связанные с Т можно определить.

В операторы дефектов из Т операторы D_Т = (1 − Т * Т)^½ и D_{Т *} = (1 − TT *)^½. Квадратный корень - это положительный полуопределенный предоставленный спектральная теорема. В дефектные пространства ${displaystyle {mathcal {D}} _ {T}}$ и ${displaystyle {mathcal {D}} _ {T *}}$ - диапазоны Ran (D_Т) и Ран (D_{Т *}) соответственно. Положительный оператор D_Т вызывает внутренний продукт на ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Внутреннее пространство продукта можно естественным образом идентифицировать с помощью Ran (D_Т). Аналогичное утверждение верно для ${displaystyle {mathcal {D}} _ {T *}}$.

В индексы дефектов из Т пара

${displaystyle (dim {mathcal {D}} _ {T}, dim {mathcal {D}} _ {T ^ {*}}).}$

Операторы дефекта и индексы дефекта являются мерой неунитарности Т.

Сокращение Т на гильбертовом пространстве можно канонически разложить в ортогональную прямую сумму

${displaystyle T = Gamma oplus U}$

где U - унитарный оператор, а Γ - совершенно неунитарный в том смысле, что в нем нет сокращение подпространств на котором его ограничение унитарно. Если U = 0, Т считается полностью неунитарное сжатие. Частным случаем этого разложения является Разложение Вольда для изометрия, где Γ - собственная изометрия.

Сжатия на гильбертовых пространствах могут рассматриваться как операторные аналоги cos θ и называются углы оператора в некоторых контекстах. Явное описание сжатий приводит к (операторной) параметризации положительных и унитарных матриц.

Теорема о расширении для сжатий

Теорема С.-Надя о растяжении, доказанный в 1953 г., утверждает, что для любого сжатия Т в гильбертовом пространстве ЧАС, Существует унитарный оператор U на большом гильбертовом пространстве K ⊇ ЧАС так что если п ортогональная проекция K на ЧАС тогда Т^п = п U^п п для всех п > 0. Оператор U называется расширение из Т и однозначно определяется, если U минимально, т.е. K - наименьшее замкнутое подпространство, инвариантное относительно U и U* содержащий ЧАС.

Фактически определить^[1]

${displaystyle displaystyle {{mathcal {H}} = Hoplus Hoplus Hoplus cdots,}}$

ортогональная прямая сумма счетного числа копий ЧАС.

Позволять V быть изометрией на ${displaystyle {mathcal {H}}}$ определяется

${displaystyle displaystyle {V (xi _ {1}, xi _ {2}, xi _ {3}, dots) = (Txi _ {1}, {sqrt {IT ^ {*} T}} xi _ {1} , xi _ {2}, xi _ {3}, точки).}}$

Позволять

${displaystyle displaystyle {{mathcal {K}} = {mathcal {H}} oplus {mathcal {H}}.}}$

Определите унитарный W на ${displaystyle {mathcal {K}}}$ от

${displaystyle displaystyle {W (x, y) = (Vx + (I-VV ^ {*}) y, -V ^ {*} y).}}$

W тогда унитарное расширение Т с участием ЧАС рассматривается как первый компонент ${displaystyle {mathcal {H}} подмножество {mathcal {K}}}$.

Минимальное расширение U получается, если взять ограничение W в замкнутое подпространство, порожденное степенями W применительно к ЧАС.

Теорема о расширении для полугрупп стягивания

Существует альтернативное доказательство теоремы Ш.-Надя о растяжении, допускающее значительные обобщения.^[2]

Позволять г быть группой, U(г) унитарное представление г в гильбертовом пространстве K и п ортогональная проекция на замкнутое подпространство ЧАС = ПК из K.

Операторнозначная функция

${displaystyle displaystyle {Phi (g) = PU (g) P,}}$

со значениями в операторах на K удовлетворяет условию положительной определенности

${displaystyle sum lambda _ {i} {overline {lambda _ {j}}} Phi (g_ {j} ^ {- 1} g_ {i}) = PT ^ {*} TPgeq 0,}$

где

${displaystyle displaystyle {T = sum lambda _ {i} U (g_ {i}).}}$

Более того,

${displaystyle displaystyle {Phi (1) = P.}}$

Наоборот, так возникает любая операторнозначная положительно определенная функция. Напомним, что каждая (непрерывная) скалярнозначная положительно определенная функция на топологической группе индуцирует скалярное произведение и представление группы φ (г) = 〈U_г v, v> где U_г является (сильно непрерывным) унитарным представлением (см. Теорема Бохнера). Замена v, проекция ранга 1, по общей проекции дает операторнозначное утверждение. Фактически конструкция идентична; это схематично показано ниже.

Позволять ${displaystyle {mathcal {H}}}$ - пространство функций на г конечной опоры со значениями в ЧАС с внутренним продуктом

${displaystyle displaystyle {(f_ {1}, f_ {2}) = sum _ {g, h} (Phi (h ^ {- 1} g) f_ {1} (g), f_ {2} (h)) .}}$

г действует унитарно ${displaystyle {mathcal {H}}}$ от

${displaystyle displaystyle {U (g) f (x) = f (g ^ {- 1} x).}}$

Более того, ЧАС можно отождествить с замкнутым подпространством ${displaystyle {mathcal {H}}}$ с помощью изометрического вложения v в ЧАС к ж_v с участием

${displaystyle f_ {v} (g) = delta _ {g, 1} v.,}$

Если п это проекция ${displaystyle {mathcal {H}}}$ на ЧАС, тогда

${displaystyle displaystyle {PU (g) P = Phi (g),}}$

используя указанную выше идентификацию.

Когда г сепарабельная топологическая группа, Φ непрерывна в сильной (или слабой) операторной топологии тогда и только тогда, когда U является.

В этом случае функции с носителем на счетной плотной подгруппе группы г плотно в ${displaystyle {mathcal {H}}}$, так что ${displaystyle {mathcal {H}}}$ отделимо.

Когда г = Z любой оператор сокращения Т определяет такую ​​функцию Φ через

${displaystyle displaystyle Phi (0) = I ,,,, Phi (n) = T ^ {n} ,,,, Phi (-n) = (T ^ {*}) ^ {n},}$

для п > 0. Приведенная выше конструкция дает минимальное унитарное растяжение.

Тот же метод может быть применен для доказательства второй теоремы о растяжении группы Sz._Nagy для однопараметрической сильно непрерывной полугруппы сжатий Т(т) (т ≥ 0) в гильбертовом пространстве ЧАС. Купер (1947) ранее доказал результат для однопараметрических полугрупп изометрий,^[3]

Теорема утверждает, что существует большее гильбертово пространство K содержащий ЧАС и унитарное представление U(т) из р такой, что

${displaystyle displaystyle {T (t) = PU (t) P}}$

и переводы U(т)ЧАС генерировать K.

по факту Т(т) определяет непрерывную операторнозначную положительно определенную функцию Φ на р через

${displaystyle displaystyle {Phi (0) = I ,,,, Phi (t) = T (t) ,,,, Phi (-t) = T (t) ^ {*},}}$

для т > 0. Φ положительно определена на циклических подгруппах в раргументом в пользу Z, а значит, и на р сам по преемственности.

Предыдущая конструкция дает минимальное унитарное представление U(т) и проекция п.

В Теорема Хилле-Йосиды назначает закрытый неограниченный оператор А каждой сжимающей однопараметрической полугруппе Т '(т) через

${displaystyle displaystyle {Axi = lim _ {tdownarrow 0} {1 over t} (T (t) -I) xi,}}$

где домен на А состоит из всех ξ, для которых существует этот предел.

А называется генератор полугруппы и удовлетворяет

${displaystyle displaystyle {-Re (Axi, xi) geq 0}}$

на своем домене. Когда А является самосопряженным оператором

${displaystyle displaystyle {T (t) = e ^ {At},}}$

в смысле спектральная теорема и это обозначение используется более широко в теории полугрупп.

В когенератор полугруппы - это сжатие, определяемое

${displaystyle displaystyle {T = (A + I) (A-I) ^ {- 1}.}}$

А можно восстановить из Т используя формулу

${displaystyle displaystyle {A = (T + I) (T-I) ^ {- 1}.}}$

В частности, расширение Т на K ⊃ ЧАС сразу дает расширение полугруппы.^[4]

Функциональное исчисление

Позволять Т быть полностью неунитарным сжатием на ЧАС. Тогда минимальная унитарная дилатация U из Т на K ⊃ ЧАС унитарно эквивалентно прямой сумме копий оператора двустороннего сдвига, т.е. умножению на z на L²(S¹).^[5]

Если п ортогональная проекция на ЧАС тогда для ж в L^∞ = L^∞(S¹) следует, что оператор ж(Т) можно определить как

${displaystyle displaystyle {f (T) xi = Pf (U) xi.}}$

Пусть H^∞ - пространство ограниченных голоморфных функций на единичном круге D. Любая такая функция имеет граничные значения в L^∞ и определяется ими однозначно, так что существует вложение H^∞ ⊂ L^∞.

Для ж в H^∞, ж(Т) можно определить без ссылки на унитарное расширение.

Фактически, если

${displaystyle displaystyle {f (z) = sum _ {ngeq 0} a_ {n} z ^ {n}}}$

для |z| <1, то при р < 1

${displaystyle displaystyle {f_ {r} (z)) = sum _ {ngeq 0} r ^ {n} a_ {n} z ^ {n}}}$

голоморфна на |z| < 1/р.

В этом случае ж_р(Т) определяется голоморфным функциональным исчислением и ж(Т) можно определить как

${displaystyle displaystyle {f (T) xi = lim _ {rightarrow 1} f_ {r} (T) xi.}}$

Отправка карты ж к ж(Т) определяет гомоморфизм алгебр H^∞ в ограниченные операторы на ЧАС. Более того, если

${displaystyle displaystyle {f ^ {sim} (z) = sum _ {ngeq 0} a_ {n} {overline {z}} ^ {n},}}$

тогда

${displaystyle displaystyle {f ^ {sim} (T) = f (T ^ {*}) ^ {*}.}}$

Это отображение обладает следующим свойством непрерывности: если равномерно ограниченная последовательность ж_п стремится почти везде к ж, тогда ж_п(Т) как правило ж(Т) в сильной операторной топологии.

Для т ≥ 0, пусть е_т быть внутренней функцией

${displaystyle displaystyle {e_ {t} (z) = exp t {z + 1 over z-1}.}}$

Если Т является когенератором однопараметрической полугруппы вполне неунитарных сжатий Т(т), тогда

${displaystyle displaystyle {T (t) = e_ {t} (T)}}$

и

${displaystyle displaystyle {T = {1 больше 2} I- {1 over 2} int _ {0} ^ {infty} e ^ {- t} T (t), dt.}}$

C₀ схватки

Совершенно неунитарное сокращение Т относится к классу C₀ если и только если ж(Т) = 0 для некоторого ненулевогож в H^∞. В этом случае набор таких ж образует идеал в H^∞. Он имеет вид φ ⋅ H^∞ где г является внутренняя функция, т.е. такие, что | φ | = 1 на S¹: φ определяется однозначно с точностью до умножения на комплексное число по модулю 1 и называется минимальная функция из Т. Обладает свойствами, аналогичными минимальный многочлен матрицы.

Минимальная функция φ допускает каноническую факторизацию

${displaystyle displaystyle {varphi (z) = cB (z) e ^ {- P (z)},}}$

где |c|=1, B(z) это Продукт Blaschke

${displaystyle displaystyle {B (z) = prod left [{| lambda _ {i} | over lambda _ {i}} {lambda _ {i} -z over 1- {overline {lambda}} _ {i}} ight] ^ {m_ {i}},}}$

с участием

${displaystyle displaystyle {sum m_ {i} (1- | lambda _ {i} |)$

и п(z) голоморфна с неотрицательной вещественной частью в D. Посредством Теорема Герглотца о представлении,

${displaystyle displaystyle {P (z) = int _ {0} ^ {2pi} {1 + e ^ {- i heta} z over 1-e ^ {- i heta} z}, dmu (heta)}}$

для некоторой неотрицательной конечной меры μ на окружности: в этом случае, если она не равна нулю, μ должна быть единственное число по мере Лебега. В приведенном выше разложении φ любой из двух факторов может отсутствовать.

Минимальная функция φ определяет спектр из Т. В пределах единичного круга спектральные значения - это нули φ. Таких λ_я, все собственные значения Т, нули B(z). Точка единичной окружности не лежит в спектре Т тогда и только тогда, когда φ имеет голоморфное продолжение в окрестность этой точки.

φ сводится к произведению Бляшке именно тогда, когда ЧАС равно замыканию прямой суммы (не обязательно ортогональной) обобщенных собственных подпространств^[6]

${displaystyle displaystyle {H_ {i} = {xi: (T-lambda _ {i} I) ^ {m_ {i}} xi = 0}.}}$

Квази-подобие

Два сокращения Т₁ и Т₂ как говорят квазиподобный когда есть ограниченные операторы А, B с тривиальным ядром и плотным диапазоном, таким что

${displaystyle displaystyle {AT_ {1} = T_ {2} A ,,,, BT_ {2} = T_ {1} B.}}$

Следующие свойства сокращения Т сохраняются при квазиподобии:

• будучи унитарным
• быть полностью неунитарным
• находясь в классе C₀
• будучи без множественности, т.е. имеющий коммутативный коммутант

Два квазиподобных C₀ сжатия имеют одинаковую минимальную функцию и, следовательно, один и тот же спектр.

В классификационная теорема для C₀ сжатий утверждает, что две свободные от кратности C₀ сжатия квазиподобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую минимальную функцию (с точностью до скалярного кратного).^[7]

Модель для свободного от множественности C₀ сжатий с минимальной функцией φ задается взятием

${displaystyle displaystyle {H = H ^ {2} ominus varphi H ^ {2},}}$

где H² это Харди космос круга и позволяя Т быть умножением на z.^[8]

Такие операторы называются Иорданские блоки и обозначен S(φ).

Как обобщение Теорема Берлингакоммутант такого оператора состоит в точности из операторов ψ (Т) с ψ в ЧАС^≈, т.е. операторы умножения на ЧАС² соответствующие функциям в ЧАС^≈.

А С₀ оператор сжатия Т свободна от кратности тогда и только тогда, когда она квазиподобна жордановой клетке (обязательно соответствует той, которая соответствует ее минимальной функции).

Примеры.

• Если сокращение Т если квази-подобный оператору S с участием

${displaystyle displaystyle {Se_ {i} = lambda _ {i} e_ {i}}}$

с λ_яразличны, с модулем меньше 1, так что

${displaystyle displaystyle {сумма (1- | лямбда _ {i} |) <1}}$

и (е_я) является ортонормированным базисом, то S, и, следовательно Т, является C₀ и множественность бесплатно. Следовательно ЧАС является замыканием прямой суммы λ_я-eigenspaces из Т, каждый из которых имеет кратность один. Это также можно увидеть непосредственно, используя определение квазиподобия.

• Приведенные выше результаты могут быть одинаково хорошо применены к однопараметрическим полугруппам, поскольку, исходя из функционального исчисления, две полугруппы квазиподобны тогда и только тогда, когда их когенераторы квазиподобны.^[9]

Классификационная теорема для C₀ схватки: Каждый C₀ сжатие канонически квазиподобно прямой сумме жордановых блоков.

Фактически каждый C₀ сжатие квазиподобно единственному оператору вида

${displaystyle displaystyle {S = S (varphi _ {1}) oplus S (varphi _ {1} varphi _ {2}) oplus S (varphi _ {1} varphi _ {2} varphi _ {3}) oplus cdots} }$

где φ_п - однозначно определенные внутренние функции, причем φ₁ минимальная функция S и, следовательно Т.^[10]

Смотрите также

• Неравенство Каллмана – Рота
• Теорема Стайнспринга о расширении
• Теорема Хилле-Иосиды для полугрупп стягивания

Заметки

использованная литература

• Берковичи, Х. (1988), Теория операторов и арифметика в H^∞, Математические обзоры и монографии, 26, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1528-8
• Купер, Дж. Л. Б. (1947), «Однопараметрические полугруппы изометрических операторов в гильбертовом пространстве», Анна. математики., 48: 827–842, Дои:10.2307/1969382
• Гамелин, Т. В. (1969), Равномерные алгебры, Прентис-Холл
• Хоффман, К. (1962), Банаховы пространства аналитических функций, Прентис-Холл
• Sz.-Nagy, B .; Foias, C .; Bercovici, H .; Керши, Л. (2010), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Universitext (второе издание), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
• Riesz, F .; С.-Надь, Б. (1995), Функциональный анализ. Перепечатка оригинала 1955 г., Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, pp. 466–472, стр. ISBN 0-486-66289-6