WikiDer > Функция Control-Ляпунова

В теория управления, а функция управления-Ляпунова^[1] это Функция Ляпунова ${displaystyle V (x)}$ для системы с управляющими входами. Обычная функция Ляпунова используется для проверки того, динамическая система является стабильный (более строго, асимптотически устойчивый). То есть, запускается ли система в состоянии ${displaystyle xeq 0}$ в какой-то области D останется в D, или для асимптотическая устойчивость в конечном итоге вернется к ${displaystyle x = 0}$. Функция контроля-Ляпунова используется для проверки того, является ли система стабилизируемая обратная связь, то есть для любого состояния Икс существует контроль ${displaystyle u (x, t)}$ такое, что система может быть переведена в нулевое состояние, применяя управление ты.

Более формально, предположим, что нам дана автономная динамическая система

${displaystyle {точка {x}} = f (x, u)}$

куда ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$ - вектор состояния и ${displaystyle uin mathbb {R} ^ {m}}$ вектор управления, и мы хотим, чтобы обратная связь стабилизировала его до ${displaystyle x = 0}$ в какой-то области ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^ {n}}$.

Определение. Функция управления-Ляпунова - это функция ${displaystyle V: Dightarrow mathbb {R}}$ которая непрерывно дифференцируема, положительно определена (т. е. ${displaystyle V (x)}$ положительный, за исключением ${displaystyle x = 0}$ где он равен нулю), и такой, что

${displaystyle forall xeq 0, существует uqquad {dot {V}} (x, u) = abla V (x) cdot f (x, u) <0.}$

Последнее условие - ключевое условие; на словах говорится, что для каждого штата Икс мы можем найти контроль ты что уменьшит "энергию" V. Интуитивно понятно, что если в каждом состоянии мы всегда можем найти способ уменьшить энергию, в конечном итоге мы сможем свести энергию к нулю, то есть остановить систему. Это подтверждается следующим результатом:

Теорема Арстейна. Динамическая система обладает дифференцируемой функцией управления-Ляпунова тогда и только тогда, когда существует регулярная стабилизирующая обратная связь ты(Икс).

Может быть нелегко найти функцию управления-Ляпунова для данной системы, но если мы сможем ее найти благодаря некоторой изобретательности и удаче, тогда задача стабилизации обратной связи значительно упрощается, фактически она сводится к решению статической нелинейной проблема программирования

${displaystyle u ^ {*} (x) = {underset {u} {operatorname {arg, min}}} abla V (x) cdot f (x, u)}$

для каждого государства Икс.

Теория и применение функций управления-Ляпунова были разработаны З. Арстейном и Э. Д. Зонтаг в 1980-х и 1990-х годах.

Пример

Вот характерный пример применения функции-кандидата Ляпунова к задаче управления.

Рассмотрим нелинейную систему, которая представляет собой систему масса-пружина-демпфер с упрочнением пружины и зависимой от положения массой, описываемой формулой

${displaystyle m (1 + q ^ {2}) {ddot {q}} + b {dot {q}} + K_ {0} q + K_ {1} q ^ {3} = u}$

Теперь, учитывая желаемое состояние, ${displaystyle q_ {d}}$, и фактическое состояние, ${displaystyle q}$, с ошибкой, ${displaystyle e = q_ {d} -q}$, определите функцию ${displaystyle r}$ в качестве

${displaystyle r = {точка {e}} + альфа e}$

Кандидат Контр-Ляпунов тогда

${displaystyle V = {frac {1} {2}} r ^ {2}}$

что положительно определено для всех ${displaystyle qeq 0}$, ${displaystyle {dot {q}} eq 0}$.

Теперь возьмем производную по времени от ${displaystyle V}$

${displaystyle {точка {V}} = r {точка {r}}}$

${displaystyle {точка {V}} = ({точка {e}} + альфа е) ({ddot {e}} + альфа {точка {e}})}$

Цель состоит в том, чтобы получить производную по времени

${displaystyle {точка {V}} = - каппа V}$

который глобально экспоненциально устойчив, если ${displaystyle V}$ является глобально положительно определенным (что и есть).

Следовательно, нам нужна самая правая скобка ${displaystyle {точка {V}}}$,

${displaystyle ({ddot {e}} + alpha {dot {e}}) = ({ddot {q}} _ {d} - {ddot {q}} + alpha {dot {e}})}$

выполнить требование

${displaystyle ({ddot {q}} _ {d} - {ddot {q}} + alpha {dot {e}}) = - {frac {kappa} {2}} ({dot {e}} + alpha e )}$

которые при подстановке динамики, ${displaystyle {ddot {q}}}$, дает

${displaystyle left ({ddot {q}} _ {d} - {frac {u-K_ {0} q-K_ {1} q ^ {3} -b {dot {q}}}} {m (1 + q) ^ {2})}} + alpha {точка {e}} ight) = - {frac {kappa} {2}} ({точка {e}} + alpha e)}$

Решение для ${displaystyle u}$ дает закон управления

${displaystyle u = m (1 + q ^ {2}) left ({ddot {q}} _ {d} + alpha {dot {e}} + {frac {kappa} {2}} right) + K_ {0 } q + K_ {1} q ^ {3} + b {точка {q}}}$

с ${displaystyle kappa}$ и ${displaystyle alpha}$, оба больше нуля, как настраиваемые параметры

Этот закон управления гарантирует глобальную экспоненциальную стабильность, поскольку при подстановке в производную по времени, как и ожидалось, дает

${displaystyle {точка {V}} = - каппа V}$

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, имеющим решение

${displaystyle V = V (0) exp (-kappa t)}$

Отсюда и ошибки, и частота ошибок, помня, что ${displaystyle V = {frac {1} {2}} ({точка {e}} + альфа e) ^ {2}}$, экспоненциально затухают до нуля.

Если вы хотите настроить конкретный ответ из этого, необходимо снова подставить его в решение, которое мы получили для ${displaystyle V}$ и решить для ${displaystyle e}$. Это оставлено как упражнение для читателя, но первые несколько шагов к решению:

${displaystyle r {dot {r}} = - {frac {kappa} {2}} r ^ {2}}$

${displaystyle {dot {r}} = - {frac {kappa} {2}} r}$

${displaystyle r = r (0) exp left (- {frac {kappa} {2}} плотно)}$

${displaystyle {dot {e}} + alpha e = ({dot {e}} (0) + alpha e (0)) exp left (- {frac {kappa} {2}} плотно)}$

которое затем может быть решено с использованием любых методов линейного дифференциального уравнения.

Примечания

Рекомендации

• Freeman, Randy A .; Петар В. Кокотович (2008). Надежная конструкция нелинейного управления (иллюстрировано, переиздание ред.). Birkhäuser. п. 257. ISBN 0-8176-4758-9. Получено 2009-03-04.

Смотрите также

• Теорема Арстейна
• Оптимизация по Ляпунову
• Дрифт плюс штраф