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Dreieck

In dem Trigonometrie beschreibt die Kosinusregel eine Beziehung zwischen den dreien Seiten von a Dreieck und der Kosinus von a Ecke.

Für das Dreieck in der Abbildung kann das Kosinusgesetz auf drei Arten formuliert werden:

${displaystyle c^{2}=a^{2} b^{2}-2abcos gamma }$

und natürlich auch:

${displaystyle a^{2}=b^{2} c^{2}-2bccos alpha }$

${displaystyle b^{2}=c^{2} a^{2}-2cacos eta }$

Die Regel kann mit der Kongruenzsätze für Dreiecke und der Sinusregel sind gewöhnt an Längen der Seiten und Winkel in einem Dreieck. Ist ${Displaystil-Gamma }$ ein rechter Winkel, also 90°, dann ist ${Anzeigestil cos-gamma =0}$ und das Kosinusgesetz zerfällt zu ${displaystyle c^{2}=a^{2} b^{2}}$, das Satz des Pythagoras. Das Kosinusgesetz ist tatsächlich gleich dem Projektionssatz.

Anwendungen

Die Kosinusregel kann unter anderem angewendet werden

• einen Winkel berechnen, wenn die drei Seiten bekannt sind, Kongruenzsatz ZZZ und
• die dritte Seite berechnen, wenn zwei Seiten und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel bekannt sind, Kongruenzsatz ZHZ.

Kongruenzsätze für ein Dreieck

Die Kongruenzsätze ZZZ-Seiten-Seite-Seite und ZHZ-Seite-Winkel-Seite zeigen, dass ein Dreieck vollständig bestimmt ist, sobald alle drei Seiten ZZZ bzw. Mit dem Kosinussatz ist es in diesen Fällen möglich, bei ZZZ die drei Winkel und bei ZHZ die Länge der dritten Seite zu berechnen und mit Sinusregel Berechne die anderen beiden Winkel.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel, die Matching-Theoreme ZHH oder HZH, oder zwei Seiten und der entgegengesetzte Winkel der größten Seite, Matching-Theorem ZzH, bekannt sind, kann man zunächst mit der Sinusregel einen der fehlenden Winkel berechnen, wonach Der dritte Winkel ist bekannt. Die Summe der drei Winkel in einem Dreieck beträgt 180°. Schließlich kann man das Kosinusgesetz anwenden, um die dritte Seite zu bestimmen.

Beweise

Es gibt mehrere Beweise für das Kosinusgesetz. Drei seien hier genannt.

Direkte Ablenkung

Von ${Anzeigestil C}$ ist das Lot ${displaystyle d}$ zur Seite abgesenkt ${Anzeigestil c}$. Wie in der Abbildung zu sehen ist, teilt sich die Senkrechte ${displaystyle d}$ das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Laut der Satz des Pythagoras gilt:

Bild zur Erklärung

${displaystyle b^{2}=d^{2} e^{2}}$

und

${displaystyle a^{2}=d^{2} (c-e)^{2}}$

Beseitigung von ${displaystyle d^{2}}$ gibt:

${displaystyle a^{2}=b^{2} c^{2}-2ce}$

Außerdem:

${Anzeigestil cos(alpha)=e/b}$, woraus folgt ${displaystyle e=bcos(alpha)}$

Beide Formeln zusammen ergeben:

${displaystyle a^{2}=b^{2} c^{2}-2bccos(alpha)}$

Vektorformulierung

Betrachten Sie die Seiten des Dreiecks als Vektoren und nennen Sie:

${displaystyle {vec {a}}={overrightarrow {BC}}, {vec {b}}={overrightarrow {AC}}, {vec {c}}={overrightarrow {AB}}}$

Dann ist:

${displaystyle {vec {c}}={vec {b}}-{vec {a}}}$,

damit damit internes Produkt von zwei Vektoren folgt:

${displaystyle c^{2}=|{vec {c}}|^{2}=|{vec {b}}-{vec {a}}|^{2}=({vec {b}}-{ vec {a}})cdot ({vec {b}}-{vec {a}})=|{vec {b}}|^{2} |{vec {a}}|^{2}-2, {vec {a}}cdot {vec {b}}=b^{2} a^{2}-2abcos gamma }$

Die letzte Gleichheit folgt aus der Definition von Ecke zwischen zwei Vektoren.

Oberflächenvergleich opervlakte

Ein weiterer Beweis geht durch den Vergleich von Oberflächen. Denk an Tangram. Wir müssen im Fall mit spitzem Winkel . unterscheiden ${Displaystil-Gamma }$ und der Fall des stumpfen Winkels ${Displaystil-Gamma }$. Beide Möglichkeiten sind mit einer Abbildung illustriert.

Mit spitzem Winkel ${Displaystil-Gamma }$

Fall mit spitzem Winkel ${Displaystil-Gamma }$

Ein Siebeneck ist unterteilt in:

• die rosa oberflächen ${Anzeigestil a^{2}, b^{2}}$ links und ${displaystyle 2abcos gamma }$ und ${displaystyle c^{2}}$ Recht
• das Dreieck ABC in Blau
• graue Hilfsdreiecke alle kongruent mit Dreieck ABC.

Ein Vergleich der Bereiche links und rechts zeigt:

${displaystyle a^{2} b^{2}=c^{2} 2abcos gamma }$

woraus das Kosinusgesetz folgt.

Mit stumpfem Winkel ${Displaystil-Gamma }$

Fall mit stumpfem Winkel ${Displaystil-Gamma }$

Ein Sechseck ist unterteilt in:

• die rosa oberflächen ${Anzeigestil a^{2}, b^{2}}$ und ${displaystyle -2abcos gamma }$ links und ${displaystyle c^{2}}$ Recht
• zweimal blau mit Dreieck ABC kongruente Dreiecke

Aus dem Vergleich der Flächen links und rechts folgt sofort die Kosinusregel:

${displaystyle a^{2} b^{2}-2abcos gamma =c^{2}}$

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