WikiDer > Гипотеза Крузейса - Википедия

Гипотеза Крузе является нерешенным (по состоянию на 2018 год)^[1] проблема в матричный анализ. Он был предложен Мишелем Крузе в 2004 году,^[2] и это уточняет Теорема Крузе, в котором говорится:^[3]

${ Displaystyle | е (А) | leq 11.08 sup _ {z in W (A)} | f (z) |}$

где набор ${ Displaystyle W (A)}$ это поле значений из п×п (т.е. квадрат) комплексная матрица ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle f}$ - комплексная функция, аналитическая внутри ${ Displaystyle W (A)}$ и продолжаются до границы ${ Displaystyle W (A)}$. Постоянная ${ displaystyle 11.08}$ не зависит от матрицы измерение, таким образом, можно перенести на бесконечные параметры. Еще не доказанная гипотеза утверждает, что константа точна до ${ displaystyle 2}$:

${ Displaystyle | е (А) | Leq 2 sup _ {г в W (А)} | е (г) |}$

Мишель Крузе и Сезар Паленсия доказали в 2017 году, что результат верен для ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$,^[4] улучшение исходной константы ${ displaystyle 11.08}$.

Слегка переформулировав, гипотезу можно сформулировать следующим образом: для всех квадратных комплексных матриц ${ displaystyle A}$ и все комплексные многочлены ${ displaystyle p}$:

${ Displaystyle | п (А) | Leq 2 sup _ {г в W (А)} | р (г) |}$

где норма в левой части - это 2-норма спектрального оператора.

Хотя общий случай неизвестен, известно, что гипотеза верна для трехдиагональных матриц 3 × 3 с эллиптическим полем значений с центром в собственное значение^[5] и для общего п×п матрицы, близкие к жордановым блокам.^[6] Более того, Энн Гринбаум и Майкл Л. Овертон численно подтвердили гипотезу Крузе.^[7]

дальнейшее чтение

• Рэнсфорд, Томас; Швеннингер, Феликс Л. (01.03.2018). "Замечания к доказательству Крузе – Паленсии, что числовой диапазон является ${ displaystyle (1 + { sqrt {2}})}$-Спектральный набор ». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 39 (1): 342–345. arXiv:1708.08633. Дои:10.1137 / 17M1143757.
• Горкин, Памела; Бикель, Келли (27.10.2018). «Числовой диапазон и сжатия сдвига». arXiv:1810.11680 [math.FA].

Рекомендации