WikiDer > Дельта-оператор

В математика, а дельта-оператор является сдвиг-эквивариантным линейный оператор ${ Displaystyle Q двоеточие mathbb {K} [x] longrightarrow mathbb {K} [x]}$ на векторное пространство из многочлены в переменной ${ displaystyle x}$ через поле ${ Displaystyle mathbb {K}}$ что уменьшает степень на единицу.

Чтобы сказать это ${ displaystyle Q}$ является сдвиг-эквивариантный означает, что если ${ Displaystyle г (х) = е (х + а)}$, тогда

${ Displaystyle {(Qg) (х) = (Qf) (х + а)}. ,}$

Другими словами, если ${ displaystyle f}$ это "сдвиг" из ${ displaystyle g}$, тогда ${ displaystyle Qf}$ это также смена ${ displaystyle Qg}$, и имеет то же "вектор смещения" ${ displaystyle a}$.

Чтобы сказать это оператор снижает степень на единицу означает, что если ${ displaystyle f}$ является многочленом степени ${ displaystyle n}$, тогда ${ displaystyle Qf}$ является либо полиномом степени ${ displaystyle n-1}$, или, если ${ displaystyle n = 0}$, ${ displaystyle Qf}$ равно 0.

Иногда дельта-оператор определяется как линейное преобразование, эквивариантное сдвигу на многочленах от ${ displaystyle x}$ что отображает ${ displaystyle x}$ с ненулевой константой. Эта последняя характеристика, кажущаяся более слабой, чем определение, данное выше, может быть продемонстрирована как эквивалентная указанному определению, когда ${ Displaystyle mathbb {K}}$ имеет нулевую характеристику, так как сдвиг-эквивариантность - довольно сильное условие.

Примеры

• Нападающий оператор разницы

${ Displaystyle ( Delta f) (х) = е (х + 1) -f (х) ,}$

является дельта-оператором.

• Дифференциация относительно Икс, записанный как D, также является дельта-оператором.
• Любой оператор формы

${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} c_ {k} D ^ {k}}$

(куда D^п(ƒ) = ƒ^(п) это п^th производная) с ${ displaystyle c_ {1} neq 0}$ является дельта-оператором. Можно показать, что все дельта-операторы могут быть записаны в этой форме. Например, приведенный выше оператор разности может быть расширен как

${ displaystyle Delta = e ^ {D} -1 = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {D ^ {k}} {k!}}.}$

• Обобщенная производная от исчисление шкалы времени который объединяет оператор прямой разницы с производной стандартной исчисление является дельта-оператором.
• В Информатика и кибернетика, термин «дельта-оператор дискретного времени» (δ) обычно используется для обозначения разностного оператора

${ Displaystyle {( дельта е) (х) = {{е (х + Delta t) -f (x)} над { Delta t}}},}$

в Приближение Эйлера обычной производной с дискретным временем выборки ${ displaystyle Delta t}$. Дельта-формулировка дает значительное количество численных преимуществ по сравнению с оператором сдвига при быстрой выборке.

Основные полиномы

Каждый дельта-оператор ${ displaystyle Q}$ имеет уникальную последовательность «основных многочленов», a полиномиальная последовательность определяется тремя условиями:

• ${ Displaystyle p_ {0} (х) = 1;}$
• ${ displaystyle p_ {n} (0) = 0;}$
• ${ displaystyle (Qp_ {n}) (x) = np_ {n-1} (x), ; forall n in mathbb {N}.}$

Такая последовательность основных многочленов всегда имеет вид биномиальный тип, и можно показать, что других последовательностей биномиального типа не существует. Если первые два условия отброшены, то третье условие говорит, что эта полиномиальная последовательность является Последовательность Шеффера- более общее понятие.

Смотрите также

• Производная Пинчерле
• Оператор сдвига
• Темное исчисление

Рекомендации

• Никольский, Николай Капитонович (1986), Трактат об операторе сдвига: теория спектральных функций, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15021-5