WikiDer > Дендроид (топология)

Dendroid (topology)
А дендрит как это Юля набор представляет собой (локально связанный) дендроид.

В математике дендроид это тип топологическое пространство, удовлетворяющий тем свойствам, что он наследственно единогласно (что означает, что каждый субконтинуум Икс единогласно), линейно соединенный, и образует континуум.[1] Термин дендроид был введен Бронислав Кнастер чтение лекций в Вроцлавский университет,[2] хотя ранее эти пространства изучались Кароль Борсук и другие.[3][4]

Борсук (1954) доказал, что дендроиды обладают свойство фиксированной точки: Каждая непрерывная функция от дендроида до самой себя имеет фиксированную точку.[3] Повар (1970) доказал, что каждый дендроид древовидный, что означает, что он имеет сколь угодно мелкие открытые крышки, нерв это дерево.[1][5] Более общий вопрос о том, обладает ли каждый древовидный континуум свойством неподвижной точки, задается Бинг (1951),[6]была решена отрицательно Дэвидом П. Беллами, который привел пример древовидного континуума без свойства неподвижной точки.[7]

В оригинальной публикации Кнастера о дендроидах в 1961 году он поставил проблему характеристики дендроидов, которые могут быть встроены в Евклидова плоскость. Эта проблема остается открытой.[2][8] Другая проблема, поставленная в том же году Кнастером, касалась существования бесчисленной коллекции дендроидов, обладающих тем свойством, что ни один из дендроидов в коллекции не имеет непрерывного сюрприз на любой другой дендроид в коллекции, было решено Minc (2010) и Ислас (2007), который привел пример такой семьи.[9][10]

Локально связанный дендроид называется дендрит. Конус над Кантор набор (называется Кантор вентилятор) является примером дендроида, который не является дендритом.[11]

Рекомендации

  1. ^ а б Кук, Х. (1995), Continua: с Хьюстонской проблемной книгой, Конспект лекций по чистой и прикладной математике, 170, CRC Press, стр. 31, ISBN 9780824796501
  2. ^ а б Харатоник, Януш Й. (1997), «Работы Бронислава Кнастера (1893–1980) по теории континуума», Справочник по истории общей топологии, Вып. 1, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., Pp. 63–78, МИСТЕР 1617581.
  3. ^ а б Борсук К. (1954), "Теорема о неподвижных точках", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Classe troisième., 2: 17–20.
  4. ^ Лелек, А (1961), «О плоских дендроидах и их конечных точках в классическом понимании» (PDF), Фонд. Математика., 49 (3): 301–319, Дои:10.4064 / fm-49-3-301-319.
  5. ^ Кук, Х. (1970), "Древовидность дендроидов и λ-дендроидов", Fundamenta Mathematicae, 68: 19–22, Дои:10.4064 / fm-68-1-19-22, МИСТЕР 0261558.
  6. ^ Бинг, Р. Х. (1951), «Змеиный континуум», Математический журнал герцога, 18 (3): 653–663, Дои:10.1215 / s0012-7094-51-01857-1, МИСТЕР 0043450.
  7. ^ Беллами, Дэвид П. (1980), «Древовидный континуум без свойства неподвижной точки», Houston J. Math., 6: 1–13, МИСТЕР 0575909.
  8. ^ Мартинес-де-ла-Вега, Вероника; Мартинес-Монтехано, Хорхе М. (2011), «Открытые задачи о дендроидах», в Перл, Эллиотт М. (ред.), Открытые проблемы в топологии II, Elsevier, стр. 319–334, ISBN 9780080475295. См., В частности, стр. 331.
  9. ^ Минц, Петр (2010), "Бесчисленное множество дендроидов, взаимно несовместимых с помощью непрерывных функций", Хьюстонский математический журнал, 36 (4): 1185–1205, МИСТЕР 2753740. Ранее анонсировано в 2006 году.
  10. ^ Ислас, Карлос (2007), «Бесчисленное множество взаимно несравнимых плоских вееров», Топология Труды, 31 (1): 151–161, МИСТЕР 2363160.
  11. ^ Charatonik, J.J .; Charatonik, W.J .; Миклош, С. (1990). «Сливающиеся отображения поклонников». Математические диссертации. 301: 1–86.