WikiDer > Алмазный принцип

Diamond principle

В математика, и особенно в аксиоматическая теория множеств, то алмазный принцип ◊ это комбинаторный принцип представлен Рональд Дженсен в Дженсен (1972) что держится в конструируемая вселенная (L), откуда следует гипотеза континуума. Дженсен извлек алмазный принцип из своего доказательства того, что Аксиома конструктивности (V = L) подразумевает существование Суслин дерево.

Определения

Алмазный принцип ◊ говорит, что существует ◊-последовательность, другими словами, устанавливает Аα ⊆ α для α < ω1 так что для любого подмножества А из ω1 набор α с участием А ∩ α = Аα является стационарный в ω1.

Есть несколько эквивалентных форм алмазного принципа. Один утверждает, что существует счетная коллекция Аα подмножеств α для каждого счетного порядкового номера α так что для любого подмножества А из ω1 есть стационарное подмножество C из ω1 такой, что для всех α в C у нас есть А ∩ α ∈ Аα и C ∩ α ∈ Аα. Другая эквивалентная форма утверждает, что существуют наборы Аα ⊆ α для α < ω1 так что для любого подмножества А из ω1 есть по крайней мере один бесконечный α с участием А ∩ α = Аα.

В более общем плане для данного количественное числительное κ и стационарный набор S ⊆ κ, заявление ◊S (иногда пишется ◊(S) или ◊κ(S)) - это утверждение, что существует последовательность ⟨Аα : α ∈ S⟩ такой, что

  • каждый Аα ⊆ α
  • для каждого А ⊆ κ, {α ∈ S : А ∩ α = Аα} неподвижен в κ

Принцип ◊ω1 такой же как ◊.

Принцип алмаз-плюс ◊+ заявляет, что существует ◊+-последовательность, другими словами, счетная коллекция Аα подмножеств α для каждого счетного ординала α такого, что для любого подмножества А из ω1 существует замкнутое неограниченное подмножество C из ω1 такой, что для всех α в C у нас есть А ∩ α ∈ Аα и C ∩ α ∈ Аα.

Свойства и использование

Дженсен (1972) показал, что алмазный принцип ◊ подразумевает наличие Суслинские деревья. Он также показал, что V = L подразумевает принцип «алмаз плюс», который подразумевает принцип «алмаз», который подразумевает CH. В частности, принцип алмаза и принцип алмаза плюс являются независимый аксиом ZFC. Также ♣ + CH подразумевает ◊, но Шела дал модели ♣ + ¬ CH, так ◊ и ♣ не эквивалентны (скорее, ♣ слабее чем ◊).

Алмазный принцип ◊ не подразумевает наличие Курепа дерево, но тем сильнее ◊+ принцип подразумевает как ◊ принцип и существование дерева Курепы.

Акеманн и Уивер (2004) используемый ◊ построить C*-алгебра служащий контрпример к Проблема Наймарка.

Для всех кардиналов κ и стационарные подмножества S ⊆ κ+, ◊S держит в конструируемая вселенная. Шела (2010) доказал, что для κ > ℵ0, ◊κ+(S) следует из 2κ = κ+ для стационарных S которые не содержат ординалов cofinality κ.

Шелах показал, что алмазный принцип решает Проблема Уайтхеда подразумевая, что каждый Группа Уайтхеда бесплатно.

Смотрите также

использованная литература