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wenn ${Displaystil B oder A}$ dann wird ${displaystyle Delta x o mathrm {d} x}$ und ${displaystyle Delta y o mathrm {d} y}$

EIN Differential ist in der Mathematik eine Änderung (Zunahme oder Abnahme) eines Lieferwagens Variable oder ein Funktionswert, der infinitesimal klein wird.

Wie ein Mutable eine Veränderung ${Anzeigestil Delta x}$ erfährt und diese Änderung gegen Null gehen darf, sprechen wir vom Differential von ${Anzeigestil x}$ (Notation ${displaystyle mathrm {d} x}$).

wenn ${Anzeigestil x}$ ist verbunden mit ${Anzeigestil y}$ durch eine Funktion${Anzeigestil y=f(x)}$, entspricht einer Veränderung ${Anzeigestil Delta x}$ im wandelbaren ${Anzeigestil x}$ ein Wechsel ${Anzeigestil Delta y}$ im ${Anzeigestil y}$. Mit dem Differential ${displaystyle mathrm {d} x}$ von ${Anzeigestil x}$ entspricht dem Differential ${displaystyle mathrm {d} y}$ von ${Anzeigestil y}$.

Der Quotient der Differentiale ist Differentialquotient${displaystyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}=lim _{Delta x o 0}{frac {Delta y}{Delta x}}}$, das Derivat der Funktion ${Anzeigestil f(x)}$, oder die Grenze der Differenz Quotient.

Zum Beispiel, wenn in der Abbildung ${Anzeigestil B}$ bis um ${Anzeigestil A}$ nähert sich, nähert sich ${Anzeigestil Delta x}$ zu 0 spricht man dann vom Differential ${displaystyle mathrm {d} x}$ von ${Anzeigestil x}$, dann wird es Differenz Quotient${displaystyle {frac {Delta y}{Delta x}}}$ Die Ableitung.

Berechnung

• Für eine explizite Funktion ${Anzeigestil y=f(x)}$ einer Variablen ist die Gesamtdifferenz gleich:

${displaystyle mathrm {d} y=f'(x),mathrm {d} x}$

• Das Gesamtdifferential kann für explizite Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert werden und enthält dann Beiträge von jeder der unabhängigen Variablen. Somit ist das gesamte Differential der Funktion:

${displaystyle y=f(x_{1},ldots ,x_{i},ldots ,x_{n})}$

gleicht:

${displaystyle mathrm {d} y={frac {partial f}{partial x_{1}}}mathrm {d} x_{1} ldots {frac {partial f}{partial x_{i}}}mathrm {d} x_ {i} ldots {frac {partial f}{partial x_{n}}}mathrm {d} x_{n}}$

• Auch für implizite Funktionen man kann dieses Konzept erweitern. Für eine implizite Funktion:

${Anzeigestil f(x,y,z,u)=0}$

Unterscheiden Sie zuerst die beiden Mitglieder, so dass:

${displaystyle f'_{x}mathrm {d} x f'_{y}mathrm {d} y f'_{z}mathrm {d} z f'_{u}mathrm {d} u=0}$

Dann kann eine der Variablen als abhängig von den drei anderen angesehen werden. Wählen Sie beispielsweise u als abhängige Variable, dann:

${displaystyle mathrm {d} u=-{frac {f'_{x}}{f'_{u}}}mathrm {d} x-{frac {f'_{y}}{f'_{u }}}mathrm {d} y-{frac {f'_{z}}{f'_{u}}}mathrm {d} z}$

• Biene zusammengesetzte Funktionen das Differential kann auf verschiedenen Ebenen geschrieben werden. Nehmen Sie zum Beispiel:

${Anzeigestil z=f(x,y)}$, mit ${Anzeigestil x=x(u,v),Quad y=y(u,v)}$

Dann ist:

${displaystyle mathrm {d} z=z'_{x}mathrm {d} x z'_{y}mathrm {d} y}$

Aber weil wiederum

${displaystyle mathrm {d} x=x'_{u}mathrm {d} u x'_{v}mathrm {d} v}$

und

${displaystyle mathrm {d} y=y'_{u}mathrm {d} u y'_{v}mathrm {d} v}$,

gilt auch:

${displaystyle mathrm {d} z=(z'_{x},x'_{u} z'_{y},y'_{u}),mathrm {d} u (z'_{x}, x'_{v} z'_{y},y'_{v}),mathrm {d} v}$