WikiDer > Теорема размерности для векторных пространств

В математика, то теорема размерности для векторных пространств заявляет, что все базы из векторное пространство иметь одинаковое количество элементов. Это количество элементов может быть конечным или бесконечным (в последнем случае это количественное числительное), и определяет измерение векторного пространства.

Формально теорема размерности векторных пространств утверждает, что

Учитывая векторное пространство V, любые две базы имеют одинаковые мощность.

В основе лежит генераторная установка то есть линейно независимый, теорема является следствием следующей полезной теоремы:

В векторном пространстве V, если грамм - генераторная установка, а я линейно независимое множество, то мощность я не больше, чем мощность грамм.

В частности, если V является конечно порожденный, то все его базы конечны и имеют одинаковое количество элементов.

А для доказательства существования базиса любого векторного пространства в общем случае требуется Лемма Цорна и фактически эквивалентен аксиома выбора, для единственности мощности базиса требуется только лемма об ультрафильтрации,^[1] что строго слабее (однако, приведенное ниже доказательство предполагает трихотомия, т.е. что все Количественные числительные сопоставимы, утверждение, которое также эквивалентно выбранной аксиоме). Теорема может быть обобщена на произвольные р-модули для колец р имея инвариантный базисный номер.

В конечно порожденном случае доказательство использует только элементарные аргументы алгебра, и не требует аксиомы выбора или ее более слабых вариантов.

Доказательство

Позволять V быть векторным пространством, {а_я: я ∈ я} быть линейно независимый набор элементов V, и {б_j: j ∈ J} быть генераторная установка. Нужно доказать, что мощность из я не больше, чем у J.

Если J конечно, это следует из Лемма об обмене Стейница. (Действительно, Лемма об обмене Стейница следует каждое конечное подмножество я имеет мощность не больше, чем мощность J, следовательно я конечно с мощностью не больше, чем у J.) Если J конечно, возможно и доказательство, основанное на теории матриц.^[2]

Предположить, что J бесконечно. Если я конечно, доказывать нечего. Таким образом, можно считать, что я тоже бесконечно. Предположим, что мощность я больше, чем у J.^{[примечание 1]} Мы должны доказать, что это приводит к противоречию.

К Лемма Цорна, каждое линейно независимое множество содержится в максимальном линейно независимом множестве K. Из этой максимальности следует, что K пролеты V и поэтому является базисом (максимальность подразумевает, что каждый элемент V линейно зависит от элементов K, а значит, является линейной комбинацией элементов K). Поскольку мощность K больше или равно мощности я, можно заменить {а_я: я ∈ я} с K, т. е. без ограничения общности можно предположить, что {а_я: я ∈ я} это основа.

Таким образом, каждый б_j можно записать в виде конечной суммы

${ displaystyle textstyle b_ {j} = sum _ {i in E_ {j}} lambda _ {i, j} a_ {i},}$

куда ${ displaystyle E_ {j}}$ конечное подмножество ${ displaystyle I.}$ В качестве J бесконечно, ${ displaystyle textstyle bigcup _ {j in J} E_ {j}}$ имеет ту же мощность, что и J.^{[примечание 1]} Следовательно ${ displaystyle textstyle bigcup _ {j in J} E_ {j}}$ имеет мощность меньше, чем у я. Итак, есть некоторые ${ displaystyle i_ {0} in I}$ который не фигурирует ни в одном ${ displaystyle E_ {j}}$. Соответствующие ${ displaystyle a_ {i_ {0}}}$ можно выразить как конечную линейную комбинацию ${ displaystyle b_ {j}}$s, что, в свою очередь, может быть выражено как конечная линейная комбинация ${ displaystyle a_ {i}}$s, не включая ${ displaystyle a_ {i_ {0}}}$. Следовательно ${ displaystyle a_ {i_ {0}}}$ линейно зависит от другого ${ displaystyle a_ {i}}$s, что дает желаемое противоречие.

Теорема о расширении ядра для векторных пространств

Это приложение теоремы о размерности иногда называют теорема размерности. Позволять

Т: U → V

быть линейное преобразование. потом

тусклый(классифицировать(Т)) + тусклый(ядро(Т)) = тусклый(U),

то есть размер U равна размерности трансформации классифицировать плюс размер ядро. Видеть теорема ранга-недействительности для более полного обсуждения.

Примечания

Рекомендации