WikiDer > Собственное значение Дирихле

В математика, то Собственные значения Дирихле являются основные режимы из вибрация идеализированного барабана заданной формы. Проблема в том, можно ли услышать форму барабана is: исходя из собственных значений Дирихле, какие особенности формы барабана можно вывести. Здесь под «барабаном» понимается эластичная мембрана Ω, которая представлена ​​плоской областью с фиксированной границей. Собственные значения Дирихле находятся путем решения следующей задачи для неизвестной функции ты ≠ 0 и собственное значение λ

${displaystyle {egin {cases} Delta u + lambda u = 0 & {m {{in} Omega}} u | _ {partial Omega} = 0. & end {cases}}}$

(1)

Здесь Δ - Лапласиан, который приведен в ху-координаты

${displaystyle Delta u = {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2} u} {partial y ^ {2}}}.}$

В краевая задача (1) это Задача Дирихле для Уравнение Гельмгольца, поэтому λ называется собственным значением Дирихле для Ω. Собственные значения Дирихле противопоставляются Собственные значения Неймана: собственные значения для соответствующих Проблема Неймана. Оператор Лапласа Δ, входящий в (1) часто называют Дирихле лапласиан когда считается, что он принимает только функции ты удовлетворяющие граничному условию Дирихле. В более общем плане в спектральная геометрия считается (1) на многообразие с краем Ω. Тогда Δ считается Оператор Лапласа – Бельтрами, также с граничными условиями Дирихле.

Это можно показать, используя спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов что собственные подпространства конечномерны и что собственные значения Дирихле λ действительны, положительны и не имеют предельная точка. Таким образом, их можно расположить в порядке возрастания:

${displaystyle 0$

где каждое собственное значение считается в соответствии с его геометрической кратностью. Собственные подпространства ортогональны в пространстве квадратично интегрируемые функции, и состоят из гладкие функции. Фактически лапласиан Дирихле имеет непрерывное продолжение до оператора из Соболевское пространство ${displaystyle H_ {0} ^ {2} (Омега)}$ в ${displaystyle L ^ {2} (Омега)}$. Этот оператор обратим, а обратный к нему является компактным и самосопряженным, так что обычная спектральная теорема может быть применена для получения собственных подпространств оператора Δ и обратных 1 / λ его собственных значений.

Одним из основных инструментов исследования собственных значений Дирихле является принцип макс-мин: первое собственное значение λ₁ сводит к минимуму Энергия Дирихле. А именно,

${displaystyle lambda _ {1} = inf _ {uot = 0} {frac {int _ {Omega} | abla u | ^ {2}} {int _ {Omega} | u | ^ {2}}},}$

то инфимум берется за все ты из компактная опора которые не обращаются в нуль тождественно в Ω. Автор аргумент плотности, эта нижняя грань совпадает с взятой по ненулевым ${displaystyle uin H_ {0} ^ {1} (Омега)}$. Более того, используя результаты вариационное исчисление аналогично Теорема Лакса – Милграма, можно показать, что минимизатор существует в ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (Омега)}$. В более общем смысле, есть

${displaystyle lambda _ {k} = sup inf {frac {int _ {Omega} | abla u | ^ {2}} {int _ {Omega} | u | ^ {2}}}}$

где супремум берется за все (k−1) -наборы ${displaystyle phi _ {1}, точки, phi _ {k-1} в H_ {0} ^ {1} (Омега)}$ и инфимум по всему ты ортогонален ${displaystyle phi _ {i}}$.

Приложения

Рисунок 1. Спиралевидная граница домена (синий), его кусок (красный) и 3 сегмента луча (зеленый).

Лапласиан Дирихле может возникнуть из различных задач математическая физика; это может относиться к режимам идеализированного барабана, небольшим волнам на поверхности идеализированного бассейна, а также к режиму идеализированного оптоволокно в параксиальное приближение. Последнее приложение наиболее практично в связи с волокна с двойной оболочкой; в таких световодах важно, чтобы большинство мод излучения заполняло домен равномерно, либо большая часть лучей пересекала сердцевину. Самой плохой формой кажется круго-симметричная область^[1][2],.^[3]Режимы насоса не должны исключать использование активного сердечника в двойной оболочке. волоконно-оптические усилителиСпиралевидная область оказывается особенно эффективной для такого применения из-за граничного поведения режимов Лапласианский дирихле.^[4]

Теорема о граничном поведении лапласиана Дирихле, если аналогия свойства лучей в геометрической оптике (рис.1); угловой момент луча (зеленый) увеличивается при каждом отражении от спиральной части границы (синий), пока луч попадает в кусок (красный); все лучи (кроме тех, которые параллельны оптической оси) неизбежно попадают в область вблизи куска, чтобы отнять избыток углового импульса. Точно так же все моды лапласиана Дирихле имеют ненулевые значения вблизи фрагмента. Нормальную составляющую производной моды на границе можно интерпретировать как давление; давление, интегрированное по поверхности, дает сила. Поскольку режим является стационарным решением уравнения распространения (с тривиальной зависимостью от продольной координаты), полная сила должна быть равна нулю. угловой момент силы давления также должна быть равна нулю. Однако существует формальное доказательство, не относящееся к аналогии с физической системой.^[4]

Примечания

Рекомендации

• Бенгурия, Рафаэль Д. (2001) [1994], «Собственные значения Дирихле», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Чавел, Исаак (1984). Собственные значения в римановой геометрии. Pure Appl. Математика. 115. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-170640-1..
• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1962). Методы математической физики, Том I. Wiley-Interscience..