WikiDer > Дискретная теория Морса

Дискретная теория Морса это комбинаторный адаптация Теория Морса разработан Робин Форман. Теория имеет различные практические приложения в различных областях Прикладная математика и Информатика, Такие как конфигурационные пространства,^[1] гомология вычисление^[2][3] шумоподавление,^[4] сжатие сетки,^[5] и топологический анализ данных.^[6]

Обозначения относительно комплексов CW

Позволять ${displaystyle X}$ быть CW комплекс и обозначим через ${displaystyle {mathcal {X}}}$ свой набор ячеек. Определить функция инцидентности ${displaystyle kappa: {mathcal {X}} imes {mathcal {X}} o mathbb {Z}}$ следующим образом: даны две ячейки ${displaystyle sigma}$ и ${displaystyle au}$ в ${displaystyle {mathcal {X}}}$, позволять ${displaystyle kappa (sigma, ~ au)}$ быть степень из прикрепление карты от границы ${displaystyle sigma}$ к ${displaystyle au}$. В граничный оператор это эндоморфизм ${displaystyle partial}$ свободной абелевой группы, порожденной ${displaystyle {mathcal {X}}}$ определяется

${displaystyle partial (sigma) = sum _ {au in {mathcal {X}}} каппа (sigma, au) au.}$

Определяющим свойством граничных операторов является то, что ${displaystyle partial circ partial эквив 0}$. В более аксиоматических определениях^[7] можно найти требование, чтобы ${displaystyle forall sigma, au ^ {prime} in {mathcal {X}}}$

${displaystyle sum _ {au in {mathcal {X}}} каппа (sigma, au) kappa (au, au ^ {prime}) = 0}$

что является следствием приведенного выше определения граничного оператора и требования, чтобы ${displaystyle partial circ partial эквив 0}$.

Дискретные функции Морса

А настоящий-значная функция ${displaystyle mu: {mathcal {X}} o mathbb {R}}$ это дискретная функция Морса если он удовлетворяет следующим двум свойствам:

1. Для любой клетки ${displaystyle sigma in {mathcal {X}}}$, количество ячеек ${displaystyle au in {mathcal {X}}}$ на границе ${displaystyle sigma}$ которые удовлетворяют ${displaystyle mu (sigma) leq mu (au)}$ самое большее.
2. Для любой клетки ${displaystyle sigma in {mathcal {X}}}$, количество ячеек ${displaystyle au in {mathcal {X}}}$ содержащий ${displaystyle sigma}$ на их границе, которые удовлетворяют ${displaystyle mu (sigma) geq mu (au)}$ самое большее.

Это можно показать^[8] что мощности в двух условиях не могут быть одновременно одними для фиксированной ячейки ${displaystyle sigma}$, при условии, что ${displaystyle {mathcal {X}}}$ это обычный CW комплекс. В этом случае каждая ячейка ${displaystyle sigma in {mathcal {X}}}$ может быть спарен максимум с одной исключительной ячейкой ${displaystyle au in {mathcal {X}}}$: либо граничная ячейка с большей ${displaystyle mu}$ значение или соседняя ячейка с меньшим ${displaystyle mu}$ ценить. Ячейки, не имеющие пар, т.е. чьи значения функций строго выше, чем их граничные ячейки и строго ниже их приграничных ячеек называются критический клетки. Таким образом, дискретная функция Морса разбивает комплекс CW на три различных набора ячеек: ${displaystyle {mathcal {X}} = {mathcal {A}} sqcup {mathcal {K}} sqcup {mathcal {Q}}}$, куда:

1. ${displaystyle {mathcal {A}}}$ обозначает критический непарные клетки,
2. ${displaystyle {mathcal {K}}}$ обозначает ячейки, которые соединены с граничными ячейками, и
3. ${displaystyle {mathcal {Q}}}$ обозначает ячейки, которые соединены с соседними ячейками.

По построению существует биекция из наборы между ${displaystyle k}$-мерные ячейки в ${displaystyle {mathcal {K}}}$ и ${displaystyle (k-1)}$-мерные ячейки в ${displaystyle {mathcal {Q}}}$, который можно обозначить как ${displaystyle p ^ {k}: {mathcal {K}} ^ {k} o {mathcal {Q}} ^ {k-1}}$ для каждого натуральное число ${displaystyle k}$. Это дополнительное техническое требование, которое для каждого ${displaystyle Kin {mathcal {K}} ^ {k}}$, степень прикрепления карты от границы ${displaystyle K}$ в свою парную камеру ${displaystyle p ^ {k} (K) в {mathcal {Q}}}$ это единица измерения в основе звенеть из ${displaystyle {mathcal {X}}}$. Например, над целые числа ${displaystyle mathbb {Z}}$, единственными допустимыми значениями являются ${displaystyle pm 1}$. Это техническое требование гарантировано, например, если предполагается, что ${displaystyle {mathcal {X}}}$ является регулярным комплексом CW над ${displaystyle mathbb {Z}}$.

Фундаментальный результат дискретной теории Морса устанавливает, что комплекс CW ${displaystyle {mathcal {X}}}$ является изоморфный на уровне гомология в новый комплекс ${displaystyle {mathcal {A}}}$ состоящий только из критических ячеек. Парные клетки в ${displaystyle {mathcal {K}}}$ и ${displaystyle {mathcal {Q}}}$ описывать градиентные пути между соседними критическими ячейками, которые можно использовать для получения граничного оператора на ${displaystyle {mathcal {A}}}$. Некоторые подробности этой конструкции представлены в следующем разделе.

Комплекс Морзе

А градиентный путь это последовательность парных ячеек

${displaystyle ho = (Q_ {1}, K_ {1}, Q_ {2}, K_ {2}, ldots, Q_ {M}, K_ {M})}$

удовлетворение ${displaystyle Q_ {m} = p (K_ {m})}$ и ${displaystyle kappa (K_ {m}, ~ Q_ {m + 1}) eq 0}$. В индекс этого градиентного пути определяется как целое число

${displaystyle u (ho) = {frac {prod _ {m = 1} ^ {M-1} -kappa (K_ {m}, Q_ {m + 1})} {prod _ {m = 1} ^ {M } каппа (K_ {m}, Q_ {m})}}}$.

Деление здесь имеет смысл, потому что частота встречаемости между парными клетками должна быть ${displaystyle pm 1}$. Отметим, что по построению значения дискретной функции Морса ${displaystyle mu}$ должен уменьшаться ${displaystyle ho}$. Тропинка ${displaystyle ho}$ говорят соединять две критические ячейки ${displaystyle A, A'in {mathcal {A}}}$ если ${displaystyle kappa (A, Q_ {1}) eq 0eq kappa (K_ {M}, A ')}$. Это отношение может быть выражено как ${displaystyle A {stackrel {ho} {o}} A '}$. В множественность этого соединения определяется как целое число ${displaystyle m (ho) = kappa (A, Q_ {1}) cdot u (ho) cdot kappa (K_ {M}, A ')}$. Наконец, Граничный оператор Морса на критических ячейках ${displaystyle {mathcal {A}}}$ определяется

${displaystyle Delta (A) = kappa (A, A ') + sum _ {A {stackrel {ho} {o}} A'} m (ho) A '}$

где сумма берется по всем соединениям градиентных путей из ${displaystyle A}$ к ${displaystyle A '}$.

Основные результаты

Многие из известных результатов непрерывной теории Морса применимы в дискретной ситуации.

Неравенства Морзе

Позволять ${displaystyle {mathcal {A}}}$ комплекс Морзе, связанный с комплексом CW ${displaystyle {mathcal {X}}}$. Номер ${displaystyle m_ {q} = | {mathcal {A}} _ {q} |}$ из ${displaystyle q}$-ячейки в ${displaystyle {mathcal {A}}}$ называется ${displaystyle q ^ {th}}$ Число Морзе. Позволять ${displaystyle eta _ {q}}$ обозначить ${displaystyle q ^ {th}}$ Бетти номер из ${displaystyle {mathcal {X}}}$. Тогда для любого ${displaystyle N> 0}$, следующие неравенства^[9] держать

${displaystyle m_ {N} geq eta _ {N}}$, и

${displaystyle m_ {N} -m_ {N-1} + ldots pm m_ {0} geq eta _ {N} - eta _ {N-1} + ldots pm eta _ {0}}$

Более того, Эйлерова характеристика ${displaystyle chi ({mathcal {X}})}$ из ${displaystyle {mathcal {X}}}$ удовлетворяет

${displaystyle chi ({mathcal {X}}) = m_ {0} -m_ {1} + ldots pm m_ {dim {mathcal {X}}}}$

Дискретные гомологии Морса и гомотопический тип

Позволять ${displaystyle {mathcal {X}}}$ - регулярный комплекс CW с граничным оператором ${displaystyle partial}$ и дискретная функция Морса ${displaystyle mu: {mathcal {X}} o mathbb {R}}$. Позволять ${displaystyle {mathcal {A}}}$ - ассоциированный комплекс Морса с граничным оператором Морса ${displaystyle Delta}$. Тогда есть изоморфизм^[10] из гомология группы

${displaystyle H _ {*} ({mathcal {X}}, частично) simeq H _ {*} ({mathcal {A}}, Delta),}$

и аналогично для гомотопических групп.

Смотрите также

• Цифровая теория Морзе
• Стратифицированная теория Морса
• Анализ формы
• Топологическая комбинаторика
• Дискретная дифференциальная геометрия

Рекомендации

• Форман, Робин (2002). «Руководство пользователя дискретной теории Морса» (PDF). Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48: Изобразительное искусство. B48c, 35 с. МИСТЕР 1939695.
• Козлов, Дмитрий (2007). Комбинаторная алгебраическая топология. Алгоритмы и вычисления в математике. 21. Берлин: Springer. ISBN 978-3540719618. МИСТЕР 2361455.
• Йонссон, Якоб (2007). Симплициальные комплексы графов. Springer. ISBN 978-3540758587.
• Орлик, Питер; Велкер, Фолькмар (2007). Алгебраическая комбинаторика: лекции в летней школе в Нордфьордейде. Universitext. Springer. Дои:10.1007/978-3-540-68376-6. ISBN 978-3540683759. МИСТЕР 2322081.
• «Дискретная теория Морса». nLab.