WikiDer > Представление дискретной серии

В математика, а представление дискретной серии неприводимый унитарное представительство локально компактного топологическая группа грамм это субпредставительство левых регулярное представительство из грамм на L² (грамм). в Планшерель мера, такие представления имеют положительную меру. Название происходит от того факта, что это именно те представления, которые дискретно возникают в разложении регулярного представления.

Характеристики

Если грамм является унимодулярный, неприводимое унитарное представление ρ грамм входит в дискретную серию тогда и только тогда, когда одна (а значит, и все) матричный коэффициент

${displaystyle langle ho (g) cdot v, wangle,}$

с v, ш ненулевые векторы интегрируемый с квадратом на грамм, относительно Мера Хаара.

Когда грамм унимодулярно, представление дискретной серии имеет формальную размерность d, со свойством, что

${displaystyle dint langle ho (g) cdot v, wangle {overline {langle ho (g) cdot x, yangle}} dg = langle v, xangle {overline {langle w, yangle}}}$

за v, ш, Икс, у в представлении. Когда грамм компактно, это совпадает с размерностью, когда мера Хаара на грамм нормализовано так, чтобы грамм имеет меру 1.

Полупростые группы

Хариш-Чандра (1965, 1966) классифицировал представления дискретной серии связных полупростые группы грамм. В частности, такая группа имеет представления дискретной серии тогда и только тогда, когда она имеет тот же ранг, что и группа максимальная компактная подгруппа K. Другими словами, максимальный тор Т в K должен быть Подгруппа Картана в грамм. (Этот результат требовал, чтобы центр из грамм конечна, что исключает такие группы, как односвязное покрытие SL (2,р).) Это относится, в частности, к специальные линейные группы; из них только SL (2,р) имеет дискретный ряд (для этого см. теория представлений SL (2,р)).

Классификация Хариш-Чандры представлений дискретной серии полупростой связной группы Ли дается следующим образом. Если L это весовая решетка максимального тора Т, подрешетка Это куда т является алгеброй Ли Т, то для каждого вектора существует представление дискретной серии v из

L + ρ,

где ρ - Вектор Вейля из грамм, который не ортогонален ни одному корню грамм. Таким образом происходит любое представление дискретной серии. Два таких вектора v соответствуют одному и тому же представлению дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно Группа Вейля W_K максимальной компактной подгруппы K. Если мы исправим основная камера для группы Вейля K, то представление дискретной серии находится в соответствии 1: 1 с векторами L + ρ в этой камере Вейля, которые не ортогональны ни одному корню грамм. Бесконечно малый характер представления старшего веса задается формулой v (мод. группа Вейля W_грамм из грамм) под Переписка Хариш-Чандры идентификация бесконечно малых символов грамм с точками

т ⊗ C/W_грамм.

Таким образом, для каждого представления дискретной серии существует ровно

|W_грамм|/|W_K|

представления дискретных серий с одинаковым инфинитезимальным характером.

Хариш-Чандра доказал аналог этих представлений Формула характера Вейля. В случае, когда грамм не компактно, представления имеют бесконечную размерность, а понятие персонаж поэтому более тонко определить, поскольку это Распределение Шварца (представлен локально интегрируемой функцией) с особенностями.

Характер задан на максимальном торе Т к

${displaystyle (-1) ^ {frac {dim (G) -dim (K)} {2}} {sum _ {win W_ {K}} det (w) e ^ {w (v)} over prod _ { (v, alpha)> 0} left (e ^ {frac {alpha} {2}} - e ^ {- {frac {alpha} {2}}} ight)}}$

Когда грамм компактно, это сводится к формуле характера Вейля, с v = λ + ρ за λ старший вес неприводимого представления (где произведение берется по корням α, имеющим положительное внутреннее произведение с вектором v).

Теорема регулярности Хариш-Чандры следует, что характер представления дискретной серии является локально интегрируемой функцией на группе.

Предел представлений дискретной серии

Точки v в классе L + ρ ортогональные корням грамм не соответствуют представлениям дискретных серий, но не ортогональны корням K связаны с некоторыми неприводимыми представлениями, называемыми предел представлений дискретной серии. Такое представление существует для каждой пары (v,C) куда v вектор L + ρ ортогонален некоторому корню из грамм но не ортогонален какому-либо корню K соответствует стене C, и C это камера Вейля грамм содержащий v. (В случае представлений дискретной серией имеется только одна камера Вейля, содержащая v поэтому нет необходимости включать его явно.) Две пары (v,C) дают тот же предел представления дискретных рядов тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группы Вейля K. Как и для представлений дискретных серий v дает бесконечно малый характер. Есть не более |W_грамм|/|W_K| предел представлений дискретных серий с любым заданным инфинитезимальным характером.

Предел представлений дискретных серий закаленные представления, что примерно означает, что они просто не могут быть представлениями дискретной серии.

Конструкции дискретной серии

Первоначальная конструкция дискретного ряда Хариш-Чандра была не очень ясной. Позднее несколько авторов нашли более явные реализации дискретного ряда.

• Нарасимхан и Окамото (1970) построено большинство представлений дискретных серий в случае, когда симметричное пространство грамм эрмитский.
• Партасарати (1972) построили многие представления дискретных серий для произвольных грамм.
• Ленглендс (1966) предположил, и Шмид (1976) доказано, геометрический аналог Теорема Бореля – Ботта – Вейля., для дискретной серии, используя L² когомология вместо когерентных когомологий пучков, используемых в компактном случае.
• Приложение теорема об индексе, Атья и Шмид (1977) построил все представления дискретных серий в пространствах гармонические спиноры. В отличие от большинства предыдущих построений представлений, работа Атьи и Шмида не использовала результаты существования Хариш-Чандры в своих доказательствах.
• Представления дискретных серий также могут быть построены с помощью когомологическая параболическая индукция с помощью Функторы Цукермана.

Смотрите также

• Гипотеза Блаттнера
• Представление голоморфных дискретных серий
• Представление кватернионной дискретной серии

Рекомендации

• Атья, Майкл; Шмид, Вильфрид (1977), "Геометрическая конструкция дискретной серии для полупростых групп Ли", Inventiones Mathematicae, 42: 1–62, Дои:10.1007 / BF01389783, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0463358
• Баргманн, В (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Анналы математики, Вторая серия, 48: 568–640, Дои:10.2307/1969129, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969129, МИСТЕР 0021942
• Хариш-Чандра (1965), "Дискретные ряды для полупростых групп Ли. I. Построение инвариантных собственных распределений", Acta Mathematica, 113: 241–318, Дои:10.1007 / BF02391779, ISSN 0001-5962, 0219665
• Хариш-Чандра (1966), "Дискретные серии для полупростых групп Ли. II. Явное определение характеров", Acta Mathematica, 116: 1–111, Дои:10.1007 / BF02392813, ISSN 0001-5962, МИСТЕР 0219666
• Ленглендс, Р. П. (1966), "Размерность пространств автоморфных форм", Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 253–257, МИСТЕР 0212135
• Narasimhan, M. S .; Окамото, Киёсато (1970), "Аналог теоремы Бореля-Вейля-Ботта для эрмитовых симметрических пар некомпактного типа", Анналы математики, Вторая серия, 91: 486–511, Дои:10.2307/1970635, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970635, МИСТЕР 0274657
• Parthasarathy, R. (1972), "Оператор Дирака и дискретный ряд", Анналы математики, Вторая серия, 96: 1–30, Дои:10.2307/1970892, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970892, МИСТЕР 0318398
• Шмид, Вильфрид (1976), «L²-когомологии и дискретная серия», Анналы математики, Вторая серия, 103 (2): 375–394, Дои:10.2307/1970944, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970944, МИСТЕР 0396856
• Шмид, Уилфрид (1997), «Дискретный ряд», в Бейли, Т. Н .; Кнапп, Энтони В. (ред.), Теория представлений и автоморфные формы (Эдинбург, 1996), Proc. Симпозиумы. Чистая математика., 61, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 83–113, Дои:10.1090 / pspum / 061/1476494, ISBN 978-0-8218-0609-8, МИСТЕР 1476494
• А.И. Штерн (2001) [1994], «Дискретная серия представления», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

• Гаррет, Пол (2004), Некоторые факты о дискретных сериях (голоморфных, кватернионных) (PDF)