WikiDer > Модуль дуализации
В абстрактная алгебра, а дуальный модуль, также называемый канонический модуль, это модуль через коммутативное кольцо это аналогично канонический пакет из гладкий сорт. Он используется в Локальная двойственность Гротендика.
Определение
Дуализирующий модуль для Кольцо Нётериана р это конечно порожденный модуль M такой, что для любого максимальный идеал м, то р/м векторное пространство Extп
р(р/м,M) исчезает, если п ≠ высота (м) и является 1-мерный если п = высота (м).
Дуализирующий модуль не обязательно должен быть уникальным, потому что тензорное произведение любого дуализирующего модуля ранга 1 проективный модуль также дуализирующий модуль. Однако это единственный способ, при котором дуализирующий модуль не может быть уникальным: для любых двух дуализирующих модулей один изоморфен тензорному произведению другого с проективным модулем ранга 1. В частности, если кольцо локально, дуализирующий модуль единственен с точностью до изоморфизма.
Нетерово кольцо не обязательно имеет дуализирующий модуль. Любое кольцо с дуализирующим модулем должно быть Коэн – Маколей. Наоборот, если кольцо Коэна – Маколея является фактором Кольцо Горенштейна тогда у него есть дуализирующий модуль. В частности, любое полное локальное кольцо Коэна – Маколея имеет дуализирующий модуль. Для колец без дуализирующего модуля иногда можно использовать дуализирующий комплекс в качестве замены.
Примеры
Если р кольцо Горенштейна, то р рассматривается как модуль над собой, является дуализирующим модулем.
Если р является Артиниан местное кольцо затем Модуль Matlis из р (инъективная оболочка поля вычетов) - дуализирующий модуль.
Местное кольцо Артиниан р = k[Икс,у]/(Икс2,у2,ху) имеет единственный дуализирующий модуль, но он не изоморфен р.
Кольцо Z[√–5] имеет два неизоморфных дуализирующих модуля, соответствующих двум классам обратимых идеалов.
Местное кольцо k[Икс,у]/(у2,ху) не является Коэном – Маколеем, поэтому не имеет дуализирующего модуля.
Смотрите также
Рекомендации
- Бурбаки, Н. (2007), Коммутативный Algèbre. Глава 10, Éléments de mathématique (на французском языке), Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-34394-3, МИСТЕР 2333539
- Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея, Кембриджские исследования по высшей математике, 39, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41068-7, МИСТЕР 1251956