WikiDer > Элемент (теория категорий)

В теория категорий, концепция элемент, или точка, обобщает более обычные теоретико-множественный концепция элемент набора к объекту любого категория. Эта идея часто позволяет переформулировать определения или свойства морфизмов (например, мономорфизм или же товар) данный универсальная собственность в более привычных терминах, указав их отношение к элементам. Некоторые очень общие теоремы, такие как Лемма Йонеды и Теорема вложения Митчелла, очень полезны для этого, позволяя работать в контексте, в котором эти переводы действительны. Такой подход к теории категорий, в частности, использование леммы Йонеды таким образом, объясняется тем, что Гротендик, и его часто называют методом функтор точек.

Определение

Предполагать C есть ли категория и А, Т два объекта C. А Т-оценочная точка А это просто стрела ${displaystyle pcolon T o A}$. Набор всех Т-оценки А функционально изменяется с Т, порождая "функтор точек" А; согласно Лемма Йонеды, это полностью определяет А как объект C.

Свойства морфизмов

Многие свойства морфизмов можно переформулировать в терминах точек. Например, карта ${displaystyle f}$ считается мономорфизм если

Для всех карт ${displaystyle g}$, ${displaystyle h}$, ${displaystyle fcirc g = fcirc h}$ подразумевает ${displaystyle g = h}$.

Предполагать ${displaystyle fcolon B o C}$ и ${displaystyle g, hcolon A o B}$ в C. потом грамм и час находятся А-оценки B, поэтому мономорфизм эквивалентен более известному утверждению

ж является мономорфизмом, если он инъективная функция по пунктам B.

Необходима некоторая осторожность. ж является эпиморфизм если двойной выполняется условие:

Для всех карт грамм, час (подходящего типа), ${displaystyle gcirc f = hcirc f}$ подразумевает ${displaystyle g = h}$.

В теории множеств термин «эпиморфизм» является синонимом «сюръекции», т.е.

Каждая точка C изображение, под ж, какой-то точки B.

Это явно не перевод первого утверждения на язык баллов, и на самом деле эти утверждения нет эквивалент в целом. Однако в некоторых контекстах, например абелевы категории, «мономорфизм» и «эпиморфизм» поддерживаются достаточно строгими условиями, которые фактически допускают такую ​​переинтерпретацию точек.

Точно так же категориальные конструкции, такие как товар указал аналоги. Напомним, что если А, B два объекта C, их продукт А×B такой объект, что

Есть карты ${displaystyle pcolon A imes B o A,}$ ${displaystyle qcolon A imes B o B}$, и для любого Т и карты ${displaystyle fcolon T o A, gcolon T o B}$, существует уникальная карта ${displaystyle hcolon To A imes B}$ такой, что ${displaystyle f = pcirc h}$ и ${displaystyle g = qcirc h}$.

В этом определении ж и грамм находятся Т-оценки А и Bсоответственно, а час это Т-оценочная точка А×B. Таким образом, альтернативное определение продукта:

А×B является объектом Cвместе с картами проекций ${displaystyle pcolon A imes B o A}$ и ${displaystyle qcolon A imes B o B}$, так что п и q обеспечить взаимное соответствие между точками А×B и пары точек из А и B.

Это более знакомое определение произведения двух множеств.

Геометрическое происхождение

Терминология геометрического происхождения; в алгебраическая геометрия, Гротендик ввел понятие схема чтобы объединить предмет с арифметическая геометрия, который имел дело с той же идеей изучения решений полиномиальных уравнений (т.е. алгебраические многообразия), но где решения не сложные числа но рациональное число, целые числа, или даже элементы некоторых конечное поле. Таким образом, схема и есть такая: схема для объединения всех проявлений разнообразия, определяемого одними и теми же уравнениями, но с решениями, взятыми в разных наборах чисел. Одна схема дает сложное разнообразие, точками которого являются ${displaystyle (имя оператора {Spec} mathbb {C})}$-значные баллы, а также набор ${displaystyle (имя оператора {Spec} mathbb {Q})}$-значные точки (рациональные решения уравнений) и даже ${displaystyle (имя оператора {Spec} mathbb {F} _ {p})}$-значные точки (решения по модулю п).

Одна особенность языка точек очевидна из этого примера: в общем случае недостаточно рассматривать только точки со значениями в одном объекте. Например, уравнение ${displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ (который определяет схему) не имеет настоящий решения, но у него есть сложный решения, а именно ${displaystyle pm i}$. Он также имеет одно решение по модулю 2 и два по модулю 5, 13, 29 и т. Д. (Все простые числа, которые равны 1 по модулю 4). Простое использование реальных решений не даст никакой информации.

Связь с теорией множеств

Ситуация аналогична случаю, когда C это категория Набор, наборов актуальных элементов. В этом случае у нас есть «однонаправленный» набор {1}, а элементы любого набора S такие же, как {1} -значные точки S. Кроме того, существуют {1,2} -значные точки, которые представляют собой пары элементов S, или элементы S×S. В контексте наборов эти более высокие точки являются посторонними: S полностью определяется своими {1} -точками. Однако, как показано выше, это особенный случай (в данном случае это потому, что все наборы повторяются. побочные продукты из {1}).

Рекомендации

• Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1985). Топосы, тройки и теории (PDF). Springer.
• Awodey, Стив (2006). Теория категорий. Издательство Оксфордского университета. Раздел 2.3. ISBN 0-19-856861-4.